Über die HA AULTON sehen Differentialgleichungen der Dynamik. IV. (A. 17) 21
ferner
(42)
(43)
die Ordnungszahlen der Funktionen
positive ganze Zahlen sind; daß ferner, wenn
n n d
gesetzt wird, die Ordnungszahlen ... der
F u n k t i o n e n F^, Fg, Fg, ..., welche den G1 e i c h u n g e n ^39)
ähnlich gestalteten Differentialgleichungen genügen,
wiederum positive ganze Zahlen sind, wenn noch
die Bedingungen h i n z u t r e t e n:
(*^M) + m^ G Mi? ^2 -t- ^2 v nig F Mg, + nig =)= Mg, ...
usw.
Da aber unter der Voraussetzung, daß alle diese
Bedingungen erfüllt sind, sich die Entwicklungs-
formen ergeben:
und die ähnlichen für Xg,Xg,..., so folgt aus der Ganz-
z a h 1 i g k e i t der Exponenten der u - P o t e n z e n, daß sich
die für u = 0 verschwindenden Integrale x^, Xg,Xg,...
in der Umgebung dieses Punktes zunächst formal
als eindeutige Potenzreihen entwickeln lassen, deren
Konvergenz sogleich näher untersucht werden soll.
Die vorstehenden Sätze, welche sich auf die Eindeutigkeit
der Integrale der HAMILTON sehen Differentialgleichungen (9) be-
ziehen, waren unter der Voraussetzung gewonnen, daß ein System
der für u^O verschwindenden Integrale derselben endliche Ord-
nungszahlen besitze; es soll nunmehr ohne die Existenz derselben
und die Kenntnis ihrer Beziehungen zu den Zahlen Mi,Mg,...M„,
ferner
(42)
(43)
die Ordnungszahlen der Funktionen
positive ganze Zahlen sind; daß ferner, wenn
n n d
gesetzt wird, die Ordnungszahlen ... der
F u n k t i o n e n F^, Fg, Fg, ..., welche den G1 e i c h u n g e n ^39)
ähnlich gestalteten Differentialgleichungen genügen,
wiederum positive ganze Zahlen sind, wenn noch
die Bedingungen h i n z u t r e t e n:
(*^M) + m^ G Mi? ^2 -t- ^2 v nig F Mg, + nig =)= Mg, ...
usw.
Da aber unter der Voraussetzung, daß alle diese
Bedingungen erfüllt sind, sich die Entwicklungs-
formen ergeben:
und die ähnlichen für Xg,Xg,..., so folgt aus der Ganz-
z a h 1 i g k e i t der Exponenten der u - P o t e n z e n, daß sich
die für u = 0 verschwindenden Integrale x^, Xg,Xg,...
in der Umgebung dieses Punktes zunächst formal
als eindeutige Potenzreihen entwickeln lassen, deren
Konvergenz sogleich näher untersucht werden soll.
Die vorstehenden Sätze, welche sich auf die Eindeutigkeit
der Integrale der HAMILTON sehen Differentialgleichungen (9) be-
ziehen, waren unter der Voraussetzung gewonnen, daß ein System
der für u^O verschwindenden Integrale derselben endliche Ord-
nungszahlen besitze; es soll nunmehr ohne die Existenz derselben
und die Kenntnis ihrer Beziehungen zu den Zahlen Mi,Mg,...M„,