Über die HAMiLTONSchen Differentialgleichungen der Dynamik. IY. (A.17) 23
(^) ^2[A7'*'^ng. Yn[A ^^,3,...),
worin die ^ ganze Funktionen der Koeffizienten der Differential-
gleichungen sind mit Nennern, welche die Form haben:
Ud-Y) (2-AY...(,.-M,).
so daß also der Wert der Größen (48) nur unendlich
groß werden kann, wenn einzelne der Größen M posi-
tive ganze Zahlen sind. Durch Substitution der Größen (48)
in die hypothetisch aufgestellten Potenzreihen (46) erhalten wir
somit für Xi,X2,...x„ unendliche Reihen, welche dem Differential-
gleichungssystem formal Genüge leisten.
Sind nun die Konvergenzbereiche der Potenzreihen der rech-
ten Seite der Differentialgleichung des Systems (45) die um
die Nullpunkte von tyx^Xg, ...x„ gelegten Kreise mit den Radien
i'p, rpa, ... , Tp„, so wird sich, wenn der Koeffizient des Gliedes
tü x^' x^° - - - x^" mit
A""
KK,K2...fXn
bezeichnet wird, bekanntlich eine endliche positive Größe AFÜ an-
geben lassen von der Beschaffenheit, daß
M^
p pl p2 Ipn
ist; wenn man ferner in die rechten Seiten der Gleichungen (48)
statt der Koeffizienten der Potenzreihen auf den rechten Seiten
der Differentialgleichungen ihre absoluten Beträge und für diese
vermöge der der Ungleichheit (49) analogen Beziehungen ihre
oberen Grenzen setzt, außerdem in den Nennern der die Mo-
duln der Ausdrücke
C'9)
mod.A
(P)
durch den kleinsten ihrer Moduln m ersetzt, so folgt, daß, wenn
die Größen ... in T^UFa^T^, ... übergehen und
man
(^) ^2[A7'*'^ng. Yn[A ^^,3,...),
worin die ^ ganze Funktionen der Koeffizienten der Differential-
gleichungen sind mit Nennern, welche die Form haben:
Ud-Y) (2-AY...(,.-M,).
so daß also der Wert der Größen (48) nur unendlich
groß werden kann, wenn einzelne der Größen M posi-
tive ganze Zahlen sind. Durch Substitution der Größen (48)
in die hypothetisch aufgestellten Potenzreihen (46) erhalten wir
somit für Xi,X2,...x„ unendliche Reihen, welche dem Differential-
gleichungssystem formal Genüge leisten.
Sind nun die Konvergenzbereiche der Potenzreihen der rech-
ten Seite der Differentialgleichung des Systems (45) die um
die Nullpunkte von tyx^Xg, ...x„ gelegten Kreise mit den Radien
i'p, rpa, ... , Tp„, so wird sich, wenn der Koeffizient des Gliedes
tü x^' x^° - - - x^" mit
A""
KK,K2...fXn
bezeichnet wird, bekanntlich eine endliche positive Größe AFÜ an-
geben lassen von der Beschaffenheit, daß
M^
p pl p2 Ipn
ist; wenn man ferner in die rechten Seiten der Gleichungen (48)
statt der Koeffizienten der Potenzreihen auf den rechten Seiten
der Differentialgleichungen ihre absoluten Beträge und für diese
vermöge der der Ungleichheit (49) analogen Beziehungen ihre
oberen Grenzen setzt, außerdem in den Nennern der die Mo-
duln der Ausdrücke
C'9)
mod.A
(P)
durch den kleinsten ihrer Moduln m ersetzt, so folgt, daß, wenn
die Größen ... in T^UFa^T^, ... übergehen und
man