Über die HAMiLTONschcn Differentialgleichungen der Dynamik. IV. (A. 17) 35
ist, in
u ^ ^ Vi + (u, E^ + yi) - (u,
du
oder, wenn für ^ die eindeutige Potenzreihe von u eingesetzt
wird, in
(69) u ^ =M,y^ + [u,yJ
über, worin die Potenzreihe ]u,y^] von u und y^ außer reinen Po-
tenzen von yi mit Konstanten multipliziert nur Verbindungen
von u und y^ Potenzen enthält.
Sucht man nunmehr in der unendlichen Reihe
(70) y, = X c,,„ .
P,Pl
in welcher die Summationsindizes p und p^ positive ganze Zahlen
(Null eingeschlossen) darstellen, die Konstanten c.p so zu be-
stimmen, daß yi zunächst formal ein Integral der Differential-
gleichung (69) wird, daß also diese Reihe, ohne deren Konvergenz
in Betracht zu ziehen, in (69) eingesetzt dieser genügt, so muß
die Gleichung
X (p + ^ilh) Cp,P,^'
["' ^ Cp'.p',
p', p'l
^P'+M,(p^+1)
in u und iRP identisch erfüllt werden.
Hieraus folgt aber unmittelbar mit Rücksicht auf die oben
charakterisierte Zusammensetzung von [u,yj aus u und y^, daß
(71) (P + ^i(Pi-l))cp,p^i = f(p',p() ,
worin f (p', p^ ein mit positiven Koeffizienten versehenes, aus den
Koeffizienten der Differentialgleichung (69) und den Konstanten
Cp',p\ gebildetes ganzes Polynom bedeutet, in welchen die Indizes
p', p^ den Bedingungen unterliegen, daß
p'^p, p^<pi-l, p'+p;<p + (pp-l)
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ist, in
u ^ ^ Vi + (u, E^ + yi) - (u,
du
oder, wenn für ^ die eindeutige Potenzreihe von u eingesetzt
wird, in
(69) u ^ =M,y^ + [u,yJ
über, worin die Potenzreihe ]u,y^] von u und y^ außer reinen Po-
tenzen von yi mit Konstanten multipliziert nur Verbindungen
von u und y^ Potenzen enthält.
Sucht man nunmehr in der unendlichen Reihe
(70) y, = X c,,„ .
P,Pl
in welcher die Summationsindizes p und p^ positive ganze Zahlen
(Null eingeschlossen) darstellen, die Konstanten c.p so zu be-
stimmen, daß yi zunächst formal ein Integral der Differential-
gleichung (69) wird, daß also diese Reihe, ohne deren Konvergenz
in Betracht zu ziehen, in (69) eingesetzt dieser genügt, so muß
die Gleichung
X (p + ^ilh) Cp,P,^'
["' ^ Cp'.p',
p', p'l
^P'+M,(p^+1)
in u und iRP identisch erfüllt werden.
Hieraus folgt aber unmittelbar mit Rücksicht auf die oben
charakterisierte Zusammensetzung von [u,yj aus u und y^, daß
(71) (P + ^i(Pi-l))cp,p^i = f(p',p() ,
worin f (p', p^ ein mit positiven Koeffizienten versehenes, aus den
Koeffizienten der Differentialgleichung (69) und den Konstanten
Cp',p\ gebildetes ganzes Polynom bedeutet, in welchen die Indizes
p', p^ den Bedingungen unterliegen, daß
p'^p, p^<pi-l, p'+p;<p + (pp-l)
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