Über die HAMnnomschen Differentialgleichungen der Dynamik. IV. (A.17) 43
was mit dem oben gefundenen Resultat übereinstimmt, daß,
wenn keine der Zahlen Mi, Mg, ... M„ positiv ganz ist — in welchem
Falle ein und nur ein in u = 0 verschwindendes eindeutiges Inte-
gralsystem existiert —, nur dann noch, und zwar unendhcli viele,
in u^=0 verschwindende Integralsysteme existieren, deren Elemente
sich in eine Potenzreihe von u, u^', u^', ... rP*" entwickeln lassen,
also wie aus der Form (70) hervorgeht, von einer endlichen Ord-
nung Null werden, wenn die reellen Teile sämtlicher Größen
Mi,Mg,...M^ positiv und von Null verschieden sind.
Für den Fall, daß einige der Größen M: Mi,Mg,...M^ positiv
ganz sind, und die reellen Teile der übrigen M^^, M^g,...M^
positiv und von Null verschieden sind, also wieder keine der Grö-
ßen Ali, Mg,... M„ einen reellen Teil besitzt, der negativ oder Null
ist, haben wir außer dem unter den früher entwickelten Bedingun-
gen etwa existierenden eindeutigen Integralsystem noch unendlich
viele Systeme von Integralen gefunden, welche für u = 0 ver-
schwinden und sich um diesen Punkt herum in konvergente Po-
tenzreihen von
u, u^' log u, u^' log u,
logu, u
M,
M,
X+2
M-,
worin M^ Mg,...M,, positive ganze Zahlen waren, entwickeln
lassen — Integrale, die somit für u = 0 nicht von einer bestimmten
endlichen Ordnung verschwinden.
was mit dem oben gefundenen Resultat übereinstimmt, daß,
wenn keine der Zahlen Mi, Mg, ... M„ positiv ganz ist — in welchem
Falle ein und nur ein in u = 0 verschwindendes eindeutiges Inte-
gralsystem existiert —, nur dann noch, und zwar unendhcli viele,
in u^=0 verschwindende Integralsysteme existieren, deren Elemente
sich in eine Potenzreihe von u, u^', u^', ... rP*" entwickeln lassen,
also wie aus der Form (70) hervorgeht, von einer endlichen Ord-
nung Null werden, wenn die reellen Teile sämtlicher Größen
Mi,Mg,...M^ positiv und von Null verschieden sind.
Für den Fall, daß einige der Größen M: Mi,Mg,...M^ positiv
ganz sind, und die reellen Teile der übrigen M^^, M^g,...M^
positiv und von Null verschieden sind, also wieder keine der Grö-
ßen Ali, Mg,... M„ einen reellen Teil besitzt, der negativ oder Null
ist, haben wir außer dem unter den früher entwickelten Bedingun-
gen etwa existierenden eindeutigen Integralsystem noch unendlich
viele Systeme von Integralen gefunden, welche für u = 0 ver-
schwinden und sich um diesen Punkt herum in konvergente Po-
tenzreihen von
u, u^' log u, u^' log u,
logu, u
M,
M,
X+2
M-,
worin M^ Mg,...M,, positive ganze Zahlen waren, entwickeln
lassen — Integrale, die somit für u = 0 nicht von einer bestimmten
endlichen Ordnung verschwinden.