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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0013
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 13
beim Gewicht 14: (2, 4, 2, 6);
beim Gewicht 18: (2, 4, 6, 6), (4, 2, 6, 6);
beim Gewicht 24: (6, 6, 6, 6).
Es findet sich nämlich unter den 5 erzeugenden Zahlen notwendig
eine durch 5 teilbare.
Auf der dritten Stufe hat man in entsprechender Weise mit
den P^ = 48 Lückenzahlen zu verfahren. Bei den Differenzen
2(h,... ,2d„ darf man sich auf die Reste gegen 2^ = 210 beschrän-
ken. Wiederum entsteht für jeden Wert von /z eine endliche An-
zahl von zulässigen Grundformen dritter Stufe, wiederum geht
eine Anzahl der auf der zweiten Stufe zulässigen Grundformen
verloren.
So geht es weiter. Alan erhält jedoch auf diesem Wege keine
Aufklärung darüber, oh eine Folge beständig ist. Dazu müssen
wir untersuchen, wann eine auf der r-ten Stufe zulässige Folge
2di, ...,2d„ der (r-t-l)-ten Stufe unzulässig wird.
Alle etwa vorhandenen Lückenzahlfolgen (r+l)-ter Stufe mit
den Differenzen 2di,...,2d„, bei denen die Anfangszahl u,^i dem
Hauptabschnitt (r-t-l)-ter Stufe angehört, sind unter den Lücken-
zahlen r-ter Stufe mit denselben Differenzen enthalten, bei denen
die Anfangszahl einem der p,_j_i ersten Abschnitte angehört. Damit
umgekehrt eine Lückenzahlfolge r-ter Stufe auch der folgenden
Stufe zuzurechnen ist, darf keine Zahl der Folge durch p,_^ ted-
bar sein.
Die /r+1 Zahlen einer der betrachteten Folgen r-ter Stufe
lassen sich nach einem wiederholt angewandten Verfahren in die
Form setzen
2P^p + u^, 2P, ry + ^ + 2ci, 2P, ?7 + u,+ 2^2, ..., 2B,.p + u,+ 2c„ ;
liegt im Hauptabschnittt r-ter Stufe, ?? ist eine Zahl der Reihe
0,1,2, ...,p^i — l. Für jede der /z + 1 Zahlen der hingeschriebenen
Folge gibt es einen und nur einen Wert von p, den Ausnahme-
wert, für den sie durch teilbar wird, und die Folgen r-ter
Stufe, bei denen p einen Ausnahmewert annimmt, sind auf der
(r+l)-ten Stufe unzulässig. Damit alle p,^ Folgen unzulässig sind,
ist notwendig und hinreichend, daß die Ausnahmewerte alle p,+i
Zahlen der Reihe 0,1, 2,...,p,_^—1 liefern; dabei ist nicht aus-
geschlossen, daß eine solche Zahl mehrmals als Ausnahmewert auf-
beim Gewicht 14: (2, 4, 2, 6);
beim Gewicht 18: (2, 4, 6, 6), (4, 2, 6, 6);
beim Gewicht 24: (6, 6, 6, 6).
Es findet sich nämlich unter den 5 erzeugenden Zahlen notwendig
eine durch 5 teilbare.
Auf der dritten Stufe hat man in entsprechender Weise mit
den P^ = 48 Lückenzahlen zu verfahren. Bei den Differenzen
2(h,... ,2d„ darf man sich auf die Reste gegen 2^ = 210 beschrän-
ken. Wiederum entsteht für jeden Wert von /z eine endliche An-
zahl von zulässigen Grundformen dritter Stufe, wiederum geht
eine Anzahl der auf der zweiten Stufe zulässigen Grundformen
verloren.
So geht es weiter. Alan erhält jedoch auf diesem Wege keine
Aufklärung darüber, oh eine Folge beständig ist. Dazu müssen
wir untersuchen, wann eine auf der r-ten Stufe zulässige Folge
2di, ...,2d„ der (r-t-l)-ten Stufe unzulässig wird.
Alle etwa vorhandenen Lückenzahlfolgen (r+l)-ter Stufe mit
den Differenzen 2di,...,2d„, bei denen die Anfangszahl u,^i dem
Hauptabschnitt (r-t-l)-ter Stufe angehört, sind unter den Lücken-
zahlen r-ter Stufe mit denselben Differenzen enthalten, bei denen
die Anfangszahl einem der p,_j_i ersten Abschnitte angehört. Damit
umgekehrt eine Lückenzahlfolge r-ter Stufe auch der folgenden
Stufe zuzurechnen ist, darf keine Zahl der Folge durch p,_^ ted-
bar sein.
Die /r+1 Zahlen einer der betrachteten Folgen r-ter Stufe
lassen sich nach einem wiederholt angewandten Verfahren in die
Form setzen
2P^p + u^, 2P, ry + ^ + 2ci, 2P, ?7 + u,+ 2^2, ..., 2B,.p + u,+ 2c„ ;
liegt im Hauptabschnittt r-ter Stufe, ?? ist eine Zahl der Reihe
0,1,2, ...,p^i — l. Für jede der /z + 1 Zahlen der hingeschriebenen
Folge gibt es einen und nur einen Wert von p, den Ausnahme-
wert, für den sie durch teilbar wird, und die Folgen r-ter
Stufe, bei denen p einen Ausnahmewert annimmt, sind auf der
(r+l)-ten Stufe unzulässig. Damit alle p,^ Folgen unzulässig sind,
ist notwendig und hinreichend, daß die Ausnahmewerte alle p,+i
Zahlen der Reihe 0,1, 2,...,p,_^—1 liefern; dabei ist nicht aus-
geschlossen, daß eine solche Zahl mehrmals als Ausnahmewert auf-