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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0025
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 25
Eine Reihe aufeinanderfolgender Urdifferenzen möge als ein
Abschnitt bezeichnet werden; die Summe der Zahlen des Ab-
schnittes heiße dessen Gewicht. Die Formel
(30) P,(2<5) = Pf .^(2<3)
zeigt, daß es Abschnitte jeden Gewichtes gibt. Durch
Addition aufeinanderfolgender Urdifferenzen läßt sich demnach
jede gegebene gerade Zahl erzeugen. Dies veranlaßt — nebenbei
bemerkt — zu der Frage, bei welchen periodischen Folgen gerader
Zahlen überhaupt durch Addition aufeinanderfolgender Glieder
jede gerade Zahl erzeugt werden kann.
Die Urdifferenzen r-ter Stufe steigen von 2 bis zu einer größ-
ten Zahl 2p^. Wenn ein Satz von LEGENDmA richtig wäre, so
könnte man für 2y, eine obere Grenze angeben. Danach soll näm-
lich in einer arithmetischen Reihe A^+P, bei der A und Z? teiler-
fremd sind, wenn die ungeraden Primzahlen p',p",...,p^ nicht in
A aufgehen, unter p,_i unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern
der Reihe mindestens eines durch keine der Primzahlen p',p",...,p^
teilbar sein. Nimmt man als arithmetische Reihe 2% + l, als die
r Primzahlen 3, 5, 7, ..., p,, so würde danach unter unmittelbar
aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen mindestens eine Lücken-
zahl r-ter Stufe vorhanden sein, das heißt, es wäre 2/^<!2p^.
DupRE hat im Jahre 1859 nachgewiesen^, daß diese Ungleichheit
zwar für die niederen Stufen zutrifft und auch für gewisse höhere
Stufen richtig bleibt, aber für r = 8,11,13,14,..., 24 versagt. Seine
Ergebnisse sind die folgenden.
TAFEL 14
Die größten Werte der Urdifferenzen
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3
4
5
.
7
8
9
10
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12
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2Pr-l
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26
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43
46
58
65
74
96
499
496
446
* A. M. LEGENDRE, Theorie des nombres, t. II, Paris 1830, S. 76.
^ A. DupRE, Examen d'une proposition de Legendre relative ä la theorie
des nombres, Paris 1859.
Eine Reihe aufeinanderfolgender Urdifferenzen möge als ein
Abschnitt bezeichnet werden; die Summe der Zahlen des Ab-
schnittes heiße dessen Gewicht. Die Formel
(30) P,(2<5) = Pf .^(2<3)
zeigt, daß es Abschnitte jeden Gewichtes gibt. Durch
Addition aufeinanderfolgender Urdifferenzen läßt sich demnach
jede gegebene gerade Zahl erzeugen. Dies veranlaßt — nebenbei
bemerkt — zu der Frage, bei welchen periodischen Folgen gerader
Zahlen überhaupt durch Addition aufeinanderfolgender Glieder
jede gerade Zahl erzeugt werden kann.
Die Urdifferenzen r-ter Stufe steigen von 2 bis zu einer größ-
ten Zahl 2p^. Wenn ein Satz von LEGENDmA richtig wäre, so
könnte man für 2y, eine obere Grenze angeben. Danach soll näm-
lich in einer arithmetischen Reihe A^+P, bei der A und Z? teiler-
fremd sind, wenn die ungeraden Primzahlen p',p",...,p^ nicht in
A aufgehen, unter p,_i unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern
der Reihe mindestens eines durch keine der Primzahlen p',p",...,p^
teilbar sein. Nimmt man als arithmetische Reihe 2% + l, als die
r Primzahlen 3, 5, 7, ..., p,, so würde danach unter unmittelbar
aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen mindestens eine Lücken-
zahl r-ter Stufe vorhanden sein, das heißt, es wäre 2/^<!2p^.
DupRE hat im Jahre 1859 nachgewiesen^, daß diese Ungleichheit
zwar für die niederen Stufen zutrifft und auch für gewisse höhere
Stufen richtig bleibt, aber für r = 8,11,13,14,..., 24 versagt. Seine
Ergebnisse sind die folgenden.
TAFEL 14
Die größten Werte der Urdifferenzen
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* A. M. LEGENDRE, Theorie des nombres, t. II, Paris 1830, S. 76.
^ A. DupRE, Examen d'une proposition de Legendre relative ä la theorie
des nombres, Paris 1859.