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https://doi.org/10.11588/diglit.36501#0019
Bemerkungen zum Prinzip des kleinsten Zwanges.
(A.ll) 19
einfach zusammenhängenden, überall konvexen Raumstückes A^,
in Betracht kommen, das von Euklidischen Räumen mit TV—1,
TV—2,..., 2,1 Ausdehnungen begrenzt wird; dabei ist TV^3/z—
Das Prinzip des kleinsten Zwanges läuft also darauf hinaus, daß
die Aufgabe gelöst werden soll:
Au.s* ezAew EaTAhh'.S'cAc77 Enu/ve nurd hEeare Dhu'cA 077^077,
7777h cm Ea77777^äcA a77^e^077derA E^ 7E &^077 Aärze-
^cr A^UTid 0077 emc77z gege^c77e7? Ea7zA^e do6* EanTMO-y za erTafMeE.
Daß es nur einen solchen kürzesten Abstand gibt, ist im vor-
hergehenden Paragraphen bewiesen worden. Bei seiner Ermittlung
sind zwei Fälle zu unterscheiden. Erstens kann der gegebene Punkt
0 dem Raumstück A^ einschließlich der Begrenzung angehören.
Dann wird der kürzeste Abstand im Punkte D selbst erreicht.
Zweitens kann 0 außerhalb des Raumstückes A^ liegen. Wird
dann von 0 das Lot DE auf den A-fach ausgedehnten Euklidischen
Raum E^ gefällt, dem Ajy entnommen ist, so ist DE das Minimum
der Abstände sämtlicher Punkte des E^ von D. Gehört also der
Punkt E zum Raumstück A^, so ist DE der gesuchte kürzeste
Abstand; es ist leicht zu sehen, daß in diesem Falle der Punkt E
auf der Begrenzung des Raumstücks A^ gegen den Raum Eg,; liegt.
Gehört endlich der Punkt E nicht zum Raumstück A^, so wird
das Minimum des Abstandes in einem von E verschiedenen Punkte
A erreicht, der notwendig auf der Begrenzung des Raumstücks
A^ gegen den E^ liegt. Weil nämlich das Lot DE auf allen im
Ejy liegenden Richtungen des Eg„ senkrecht steht, hat man die
Gleichung
(31) DA' - DE' + AE',
folglich ist AE das Minimum der Abstände des Punktes E von
den Punkten des Raumstücks A^.
Durch die soeben angestellte Überlegung wird die ursprüng-
liche Aufgabe mit den Nebenbedingungen (29) auf dieselbe Auf-
gabe ohne Nebenbedingungen zurückgeführt. Mit genau derselben
Aufgabe, day TR7E7777.K777 deR Aa^dracA^
(32) z^ + z^ + -.- + z^
za eTwEDn, 00077.77 /är dfe D7'd/Ea z^, Zg,..., z^ $ h77oare E77gTEcA-
AeBea
(A.ll) 19
einfach zusammenhängenden, überall konvexen Raumstückes A^,
in Betracht kommen, das von Euklidischen Räumen mit TV—1,
TV—2,..., 2,1 Ausdehnungen begrenzt wird; dabei ist TV^3/z—
Das Prinzip des kleinsten Zwanges läuft also darauf hinaus, daß
die Aufgabe gelöst werden soll:
Au.s* ezAew EaTAhh'.S'cAc77 Enu/ve nurd hEeare Dhu'cA 077^077,
7777h cm Ea77777^äcA a77^e^077derA E^ 7E &^077 Aärze-
^cr A^UTid 0077 emc77z gege^c77e7? Ea7zA^e do6* EanTMO-y za erTafMeE.
Daß es nur einen solchen kürzesten Abstand gibt, ist im vor-
hergehenden Paragraphen bewiesen worden. Bei seiner Ermittlung
sind zwei Fälle zu unterscheiden. Erstens kann der gegebene Punkt
0 dem Raumstück A^ einschließlich der Begrenzung angehören.
Dann wird der kürzeste Abstand im Punkte D selbst erreicht.
Zweitens kann 0 außerhalb des Raumstückes A^ liegen. Wird
dann von 0 das Lot DE auf den A-fach ausgedehnten Euklidischen
Raum E^ gefällt, dem Ajy entnommen ist, so ist DE das Minimum
der Abstände sämtlicher Punkte des E^ von D. Gehört also der
Punkt E zum Raumstück A^, so ist DE der gesuchte kürzeste
Abstand; es ist leicht zu sehen, daß in diesem Falle der Punkt E
auf der Begrenzung des Raumstücks A^ gegen den Raum Eg,; liegt.
Gehört endlich der Punkt E nicht zum Raumstück A^, so wird
das Minimum des Abstandes in einem von E verschiedenen Punkte
A erreicht, der notwendig auf der Begrenzung des Raumstücks
A^ gegen den E^ liegt. Weil nämlich das Lot DE auf allen im
Ejy liegenden Richtungen des Eg„ senkrecht steht, hat man die
Gleichung
(31) DA' - DE' + AE',
folglich ist AE das Minimum der Abstände des Punktes E von
den Punkten des Raumstücks A^.
Durch die soeben angestellte Überlegung wird die ursprüng-
liche Aufgabe mit den Nebenbedingungen (29) auf dieselbe Auf-
gabe ohne Nebenbedingungen zurückgeführt. Mit genau derselben
Aufgabe, day TR7E7777.K777 deR Aa^dracA^
(32) z^ + z^ + -.- + z^
za eTwEDn, 00077.77 /är dfe D7'd/Ea z^, Zg,..., z^ $ h77oare E77gTEcA-
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