Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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LOTHAR HEFFTER'.

lieh ist, einen bestimmten dieser beiden Teile. Wir nennen die
Strecke gerichtet, wenn ein bestimmter der beiden Punkte,
etwa A als erster, der andere als zweiter bezeichnet wird.
Nunmehr aber erscheint es naturgemäß, nicht sogleich nach einer
Definition für die Maßzahl der einzelnen Strecke, sondern nach
einer solchen für das Verhältnis zweier Strecken zu streben,
einmal, weil dazu ein einfacheres »Eichsystem« im Raum festgelegt
zu werden braucht, als es die Maßzahl der einzelnen Strecke er-
fordert, und dann, weil m der äquiformen Geometrie, zu der die
projektive Geometrie schließlich erweitert wird, tatsächlich auch
immer nur von Streckenverhältnissen, nicht von absoluten Strecken-
längen die Rede ist. So können wir, sobald im Raum eine reelle
Ebene <u festgeiegt ist, das Verhältnis zweier solchen Strecken
definieren, deren Gerade sich in ei schneiden, und, wenn noch eine
reelle elliptische Fläche 11. Grades F, die mit <n keinen reellen
Punkt gemein hat, als »Eichfläche« gegeben ist, das Verhältnis
jeder beliebigen Strecke zu einer bis auf den Richtungssinn be-
stimmten Einheitsstrecke. Wollte man das Verhältnis zweier be-
liebigen Strecken durch DEe definieren, so brauchte man nicht
die Eichfläche selbst, sondern nur den Kegelschnitt (FS), in dem
sie ca schneidet, zu geben. Wir begründen es aber unten, weshalb
diese Definition entbehrlich ist. — Erweitert man die projektive
Geometrie zunächst zur affinen, so wird man cj natürlich als die
uneigentliche Ebene, die Fläche F also als reelles Ellipsoid wählen,
und bei der nochmaligen Erweiterung der affinen Geometrie zur
äquiformen das Ellipsoid zu einer Kugel werden lassen.
Diese gleich nach Einführung des DEes aufstellbaren geo-
metrischen Definitionen der Streckenverhältnisse, deren analy-
tischer Ausdruck nach Einführung eines Koordinatensystems zu
den bekannten Formeln führt, sind es, die wir in der bisherigen
Literatur zu vermissen glauben und denen deshalb die nachstehen-
den kurzen Ausführungen gewidmet sind. Wir benutzen diese Ge-
legenheit, um als Anwendung dem pythagoreischen Streckensatze
des Raumes seinen »affinen Vorfahr« und »projektiven Ahnherrn«
voranzustellen.
1. Verhältnis »paralleler« Strecken. — Ist der Raum
mit seinen Punkten, Ebenen, Geraden durch die projektiven
Axiome der Verknüpfung, Anordnung und Stetigkeit definiert und
das DE von vier Elementen eines Grundgebildes 1. Stufe wie a.a. 0.