Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 (A.2)

(lsKAHl'HRHO\:


D,(./j WA,
^i(.r)- W'(X + jA"' + X%
D,(.r) - .W'(X + ^X' + ^X' + X') ,
Dg (.1;) - .W' (X + 7X' + ^ X^ + ^ X' + X') .

Nun sei 3: eiu fester positive!- Wert; dann ist die Potenzreihe
(17.) für hinreichend kleine Werte von ]c[ konvergent, nämlich
nach dem oben (iesagten miudestens, solange

c <

1
W

2Aicj

> ^

ist. Ihr Konvergenzradius, den wir mit r_^ bezeichnen wolbm, ist
also größer als Null. Da fA (%) mit 3? nionoton wächst, ist

D,, (x) = < J* ,
0 0
und daraus folgt, daß auch die Reihe (16.) /nmWcWeM.s- den Kon-
vergenzradius hat. Dasselbe gilt daher auch von der Reibe


1 + rf2,. (3:) c'

Aus der Gleichung (21.) schließt man dann, daß G < *st. Denn
andernfalls müßten in (21.) beide Reihen für c = ^ konvergieren,
und dann stünde links Null, rechts aber ein positiver Wert.
Ist jetzt %o eine positive Zahl, und c eine Zahl, die absolut
kleiner als ist, so konvergiert die Reihe (17.) für % —3*o absolut,
und da ^,(3;) mit % monoton wächst, wird sie in dem ganzen
Intervall 0 < 3- < 3^ absolut und gleichmäßig konvergieren, so daß
die durch gliedweise Integration entstehende Reihe (16.) ein Inte-
gral der Differentialgleichung (15.) ist. Ihr Wert y(%) genügt da-
her auch der Gleichung (19.), und zwar ebenfalls für (1<3:<3-Q.
Insbesondere ist also: