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https://doi.org/10.11588/diglit.36498#0004
4 (A. 8)
OSKAR PERRON:
(3-) 2/' = X A, (^) 2/"2",
i*=0
wo 2 ein Parameter ist, und suchen sie durch folgenden Ansatz
zu integrieren:
(^-) = <y„M = o.
v = 0
Aus (4.) folgt durch formale Differentiation nach
{3.) 2/'=X<?h-M?'''
i'=0
und wenn man die Ausdrücke (4.), (5.) in (3.) einsetzt und beider-
seits nach Potenzen von 2 entwickelt, ergibt sich durch Koeffi-
zientenvergleichung :
Po " /o 7
Pi /1 Po 7
P2 = /1 Pi + A Po 7
p3 ^ /l P2 + -^/2 Po Pl + A Po 7
und allgemein:
( 2 -) Pl' " ^1' (/o 7 /l 1 ' * ' 7 /l^ 7 PO ' Pl 7 * ' ' 7 Pl'—1 ) 7
wo C„ eine ganze rationale Funktion mit positiven Koeffizienten
ist. Die Funktionen 9907P17P27--- findet man daher der Reihe
nach durch Quadraturen, und zwar eindeutig, weil <p,, (y) = 0
sein soll.
Wenn nun die Reihen (4.) und (5.) für 2 = 1 absolut konver-
gieren, und zwar gleichmäßig in einer gewissen Umgebung der
Stelle a; = y, dann ist in dieser Umgebung die Reihe (4.) für 2 = 1
offenbar ein Integral der Differentialgleichung (l.), und zwar das-
jenige, welches durch die Forderung, für a^ = y zu verschwinden,
bekanntlich eindeutig bestimmt ist (da nämlich die LiPSCHiTzsche
Bedingung erfüllt ist).
OSKAR PERRON:
(3-) 2/' = X A, (^) 2/"2",
i*=0
wo 2 ein Parameter ist, und suchen sie durch folgenden Ansatz
zu integrieren:
(^-) = <y„M = o.
v = 0
Aus (4.) folgt durch formale Differentiation nach
{3.) 2/'=X<?h-M?'''
i'=0
und wenn man die Ausdrücke (4.), (5.) in (3.) einsetzt und beider-
seits nach Potenzen von 2 entwickelt, ergibt sich durch Koeffi-
zientenvergleichung :
Po " /o 7
Pi /1 Po 7
P2 = /1 Pi + A Po 7
p3 ^ /l P2 + -^/2 Po Pl + A Po 7
und allgemein:
( 2 -) Pl' " ^1' (/o 7 /l 1 ' * ' 7 /l^ 7 PO ' Pl 7 * ' ' 7 Pl'—1 ) 7
wo C„ eine ganze rationale Funktion mit positiven Koeffizienten
ist. Die Funktionen 9907P17P27--- findet man daher der Reihe
nach durch Quadraturen, und zwar eindeutig, weil <p,, (y) = 0
sein soll.
Wenn nun die Reihen (4.) und (5.) für 2 = 1 absolut konver-
gieren, und zwar gleichmäßig in einer gewissen Umgebung der
Stelle a; = y, dann ist in dieser Umgebung die Reihe (4.) für 2 = 1
offenbar ein Integral der Differentialgleichung (l.), und zwar das-
jenige, welches durch die Forderung, für a^ = y zu verschwinden,
bekanntlich eindeutig bestimmt ist (da nämlich die LiPSCHiTzsche
Bedingung erfüllt ist).