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https://doi.org/10.11588/diglit.36516#0006
6 (A. 8)
LEO KOENIGSBERGER:
Zunächst ergibt, sich aus der Annahme der Existenz des Inte-
grals (l) der Differentialgleichung (9) das identische Verschwinden
der Determinante D, weil, wenn die Funktionaldeterminante D
der Funktionen (5) in Beziehung auf die Konstanten Ui,<?2, ...a,
von Null verschieden wäre, keine von diesen Konstanten freie Be-
ziehung zwischen den pi, pg, - ..p^, cs die Differentialgleichung
(9) ist, bestehen dürfte. Man sieht aber leicht, daß, wenn (l) das
vollständige Integral von (9) sein soll, die Determinante D nicht
dadurch verschwinden darf, daß die zu sämtlichen Gliedern irgend-
einer Vertikalreihe gehörigen Unterdeterminanten erster Ordnung
identisch verschwinden. Denn wären die zu der Vertikalreihe
von D gehörigen Unterdeterminanten, in denen die U, 2^, 3^,... 7*U
Horizontalreihe und die Vertikalreihe von D fehlen,
^Up Gi 7 #2 ! - * - ^Up 7
worin die Unterdeterminante Ordnung von D darstellt,
welche durch Fortlassen der p^° Vertikalreihe und cU" Horizontal-
reihe entsteht, für beliebige Werte der Konstanten
identisch gleich Null, so würde das Verschwinden der Determi-
nante welche die Funktionaldeterminante der Funktionen
(tO)
2F
dir.
2F
in bezug auf die Größen
2F 2F 2F
2^_/2^' 2a?,
^ 1 i) M , ^2,* * * ,... u,
darstellt, p=F(a?i,a?2,...,Ui,U2,...) als Integral einer partiellen
Differentialgleichung der Form definieren:
(12)
/o G ("0 ! *^2 7 * ' ' 7 Pl 7 P2 7 * * * Pp —1 7 Pp+l7 ' ' ' P?1 7 0 ,
in der noch der Parameter enthalten ist, und die Annahme, daß
die zu allen Gliedern der p^ Vertikalreihe gehörigen Unterdeter-
minanten verschwinden, würde somit y = F (a?i, ... <3i, ...) als Inte-
gral der partiellen Differentialgleichungen
/pl (*U 7 * * - "O, Pa 7 Ps 7 - - - P;t 7 ^l) " ^ 7
/pa(3Ü7 ---3W Pl, Ps, ...p^7
/p^(u, Pl, P27 ...p^-17 = 0
LEO KOENIGSBERGER:
Zunächst ergibt, sich aus der Annahme der Existenz des Inte-
grals (l) der Differentialgleichung (9) das identische Verschwinden
der Determinante D, weil, wenn die Funktionaldeterminante D
der Funktionen (5) in Beziehung auf die Konstanten Ui,<?2, ...a,
von Null verschieden wäre, keine von diesen Konstanten freie Be-
ziehung zwischen den pi, pg, - ..p^, cs die Differentialgleichung
(9) ist, bestehen dürfte. Man sieht aber leicht, daß, wenn (l) das
vollständige Integral von (9) sein soll, die Determinante D nicht
dadurch verschwinden darf, daß die zu sämtlichen Gliedern irgend-
einer Vertikalreihe gehörigen Unterdeterminanten erster Ordnung
identisch verschwinden. Denn wären die zu der Vertikalreihe
von D gehörigen Unterdeterminanten, in denen die U, 2^, 3^,... 7*U
Horizontalreihe und die Vertikalreihe von D fehlen,
^Up Gi 7 #2 ! - * - ^Up 7
worin die Unterdeterminante Ordnung von D darstellt,
welche durch Fortlassen der p^° Vertikalreihe und cU" Horizontal-
reihe entsteht, für beliebige Werte der Konstanten
identisch gleich Null, so würde das Verschwinden der Determi-
nante welche die Funktionaldeterminante der Funktionen
(tO)
2F
dir.
2F
in bezug auf die Größen
2F 2F 2F
2^_/2^' 2a?,
^ 1 i) M , ^2,* * * ,... u,
darstellt, p=F(a?i,a?2,...,Ui,U2,...) als Integral einer partiellen
Differentialgleichung der Form definieren:
(12)
/o G ("0 ! *^2 7 * ' ' 7 Pl 7 P2 7 * * * Pp —1 7 Pp+l7 ' ' ' P?1 7 0 ,
in der noch der Parameter enthalten ist, und die Annahme, daß
die zu allen Gliedern der p^ Vertikalreihe gehörigen Unterdeter-
minanten verschwinden, würde somit y = F (a?i, ... <3i, ...) als Inte-
gral der partiellen Differentialgleichungen
/pl (*U 7 * * - "O, Pa 7 Ps 7 - - - P;t 7 ^l) " ^ 7
/pa(3Ü7 ---3W Pl, Ps, ...p^7
/p^(u, Pl, P27 ...p^-17 = 0