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https://doi.org/10.11588/diglit.36516#0010
-10 (A. 8)
LEO KoENIGSBERGER:
dst $07?;;? eine portieiie Di//erentinigieichnng erster Ordnung
gegeben, m weicher ?/ eirpiizite enthniten ist, so ist ein /iir oiie kFerte
der Purumeter o^, Og, ...o^ giiitiges Tntegrni derseiöen dünn und nur
dünn ein voiistündiges hntegrui dieser, wenn D nicht identisch TVuii
ist. Enthüit die D.//ere77p'i7/c'/g7cAn77g die nöhdngige Furiuöie 7/ nicht,
so ist die no^weTidio'e und AiiireicAeTide d?edi7i^M7ig /de ein voiistündi-
ges hntegrui die, duh in /eder Fertihuireihe der per^cAwiiidenden
De^eriri i7iimfe D sich ein Piement öe/indet, dessen zn^e/idrig-e Vnter-
de^erniiniiide von Vuii verschieden ist, und du/?, wenn dieses /ür ein
öeiieöig geu'ühites g ist, die Deternununte , die /ür /edeii
3^917. 6"
Wert von c dieseiöe ist, nich^ identisch verschwindet
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß, wenn
(1) für beliebige Werte der Parameter % einer, p explizite enthalten-
den, partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt, dieses
Integral ein unvollständiges ist oder noch eine andre nicht zugehö-
rige partielle Differentialgleichung erster Ordnung befriedigt, ist
offenbar durch D = 0 gegeben, da DpO, wie oben gezeigt, die not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür darstellt, daß y=P das
vollständige Integral derselben ist. Genügt jedoch y=F für alle %
einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung, welche die
abhängige Variable y nicht explizite enthält, so darf, damit das
Integral ein unvollständiges ist, eine der beiden für die Vollstän-
digkeit des Integrals aufgestellten notwendigen und hinreichenden
Bedingungen nicht erfüllt sein, und wir erhalten somit ois not-
wendige und hiiii'ei'cheiide h?edi7?g777ig do/ür, doh dos hntegrui
p = F(^,...^,u^,...u^) einer, y nicht enthoitenden, portieiien Di//eren-
hoigieichnng erster (Vdnung ein nncods^öndiges hntegrui derseiöen
ist, die, doh eiitweder Fertihoireihen existieren, deren sümtiichen Pie-
menten Vnterdeterniinunten zugehören, weiche verschsvinden, oder,
wenn die einem Fhemente der Fertihuireihe zugehörige Fnterdeter-
minoiite von D von TVuii verschieden ist, die Determinunte
identisch TVuii ist.
Fassen wir die beiden Fälle zusammen, so ergeben sich uis
notwendige und hinreiche7?de Bedingungen du/ür, du/?, wenn eine
LEO KoENIGSBERGER:
dst $07?;;? eine portieiie Di//erentinigieichnng erster Ordnung
gegeben, m weicher ?/ eirpiizite enthniten ist, so ist ein /iir oiie kFerte
der Purumeter o^, Og, ...o^ giiitiges Tntegrni derseiöen dünn und nur
dünn ein voiistündiges hntegrui dieser, wenn D nicht identisch TVuii
ist. Enthüit die D.//ere77p'i7/c'/g7cAn77g die nöhdngige Furiuöie 7/ nicht,
so ist die no^weTidio'e und AiiireicAeTide d?edi7i^M7ig /de ein voiistündi-
ges hntegrui die, duh in /eder Fertihuireihe der per^cAwiiidenden
De^eriri i7iimfe D sich ein Piement öe/indet, dessen zn^e/idrig-e Vnter-
de^erniiniiide von Vuii verschieden ist, und du/?, wenn dieses /ür ein
öeiieöig geu'ühites g ist, die Deternununte , die /ür /edeii
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Wert von c dieseiöe ist, nich^ identisch verschwindet
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß, wenn
(1) für beliebige Werte der Parameter % einer, p explizite enthalten-
den, partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt, dieses
Integral ein unvollständiges ist oder noch eine andre nicht zugehö-
rige partielle Differentialgleichung erster Ordnung befriedigt, ist
offenbar durch D = 0 gegeben, da DpO, wie oben gezeigt, die not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür darstellt, daß y=P das
vollständige Integral derselben ist. Genügt jedoch y=F für alle %
einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung, welche die
abhängige Variable y nicht explizite enthält, so darf, damit das
Integral ein unvollständiges ist, eine der beiden für die Vollstän-
digkeit des Integrals aufgestellten notwendigen und hinreichenden
Bedingungen nicht erfüllt sein, und wir erhalten somit ois not-
wendige und hiiii'ei'cheiide h?edi7?g777ig do/ür, doh dos hntegrui
p = F(^,...^,u^,...u^) einer, y nicht enthoitenden, portieiien Di//eren-
hoigieichnng erster (Vdnung ein nncods^öndiges hntegrui derseiöen
ist, die, doh eiitweder Fertihoireihen existieren, deren sümtiichen Pie-
menten Vnterdeterniinunten zugehören, weiche verschsvinden, oder,
wenn die einem Fhemente der Fertihuireihe zugehörige Fnterdeter-
minoiite von D von TVuii verschieden ist, die Determinunte
identisch TVuii ist.
Fassen wir die beiden Fälle zusammen, so ergeben sich uis
notwendige und hinreiche7?de Bedingungen du/ür, du/?, wenn eine