Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Uber Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen. (A. 9) 11


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AF

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setzen kannh Hiernach sind die Funktionen mit a: und y
3 a?"
monoton wachsend, weil ihre Ableitungen nach % und nach y stets
> 0 sind.
Unter diesen Voraussetzungen darf man nach dem Hilfssatz
des § 2 die Gleichung (J a.), wenn darin Z das soeben erwähnte
lutegral bedeutet, beliebig oft gliedweise nach ^ differenzieren
und erhält :

(18.)

y


X X R,
/ f =0 R = 0 ^ -

F.., Z'

3Z
3a?

(u-0,1,2,...)

Die Glieder dieser Reihe sind >0, ferner mit % und y monoton
wachsend; sie nehmen also ihren größten Wert an der Stelle a? = u,
y W an. Der Reihenrest ist daher im ganzen Bereich (12.) höch-
stens so groß wie an der Stelle a^ = u, y=W, und daraus folgt, daß
die Reihe (iS.) und also auch die für u = 0 entstehende Reihe (la.)
im Bereich (12.) gUFAwd/Ug konvergiert.
Jetzt zeigen wir, daß die formale Bestimmung der Funktionen
dR sich wirklich durchführen läßt. Zunächst ist nach (5a.) AR
stetig und hat stetige Ableitungen jeder Ordnung nach au Das-
selbe gilt daher nach (10a.) von dR, und zwar ist


ü

\us (Ja.) uud (5a.) folgt:

2 '/
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A. Tiner, t
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die
Umkehrbarkeit de
'r Differeiltiationsordnung.
Alath. Am

tudcn 65 (1908).