Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

I bcr Integration porl ieHer Differentialgleieliungen durch Reihen. (A. 9) 15

wobei diese Ableitungen im Bereich (12.) stetig sind. Denn für
/. = 1 folgt das sofort aus der Definition von und <pi,dp.
Nimmt man aber an, für / <w sei die Sache als richtig erkannt,
so ist ß,„+t eine gleichmäßig konvergente (eventuell endliche) Reihe
von Termen, die alle stetig und >0 sind; ist eine analog ge-
bildete Reihe, deren Terme absolut höchstens gleich den vorge-
nannten Termen sind. Entsprechendes gilt für die partiellen Ab-
leitungen jeder Ordnung nach % von und Damit ist
zunächst die Ungleichung (30.) für /. = 7%+l bewiesen. Sodann ist
aber nach (11.) und (11a.):

y y

'
'/ <)
3 3" Q
-1- U/
!
A?
+
" 2 z" "
2.U

6 o

womit auch (31.) für /. = /n+i bewiesen ist. Die Formeln (30.)
und (31.) gelten also allgemein, und die auftretenden Ableitungen
sind als gleichmäßig konvergente oder endliche Reihen stetiger
Funktionen ebenfalls stetig.
Nach dem vorigen Paragraphen sind die Reihen (26.) und
(27.) im Bereich (12.) gleichmäßig konvergent. Um so mehr wer-
den also die Reihen

v
dm

U
%

E

3"

"c
2 z"

00 3"
V

?.=i c'Z


("-CA...),
("=0.1,2,...)

im Bereich (12.) absolut und gleichmäßig konvergieren und folg-
lich stetig sein. Setzt man daher


(32.)
E y, - ;,
/. = 1
so is
f auch
(33.)
\
;.=i
2 z"
2'U
2 z"
(" = 0, t,2
\
yt+i ^
y. 3"+^ ^
(" = 0,],2
ü'N
dm
2F2
// c z c y