Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 5
= 0
nicht genügen kann.
Ebensowenig können zwei solche Differentialgleichungen der Form
f\x1,x2,...xn,y1,~—,... —
\ 3 x< d x„
f\x1,x2,...xn,y1+c,-—, ...-— = 0
\ d xt dxn
%y
c>y
,/ <>y
f lx1,x2,...xn, -—,
\
/ 3y
(p Xi,x2,...xn,-—, —-
\ 3^ dXß
dx,. j
^ = 0
9xö/
in welchen y nicht explizite verkommt, und eine der Zahlen a,b,...r,
zum Beispiel a, von a,ß,...o verschieden ist, einander zugehörig sein,
da die Integrale yx+cx^ worin c eine willkürliche Konstante be-
deutet, wieder das Zusammenbestehen der beiden Gleichungen
/hi, *2, •
dyi ^yi\ = 0
’1’ 3xa ’ cxb ’ 3 xr f
. c = o
2xa a^J
erfordern würde, was unmöglich ist.
Es werden somit die beiden Differentialgleichungen (1) und (2)
unter Voraussetzung eines gemeinsamen Integrals nur dann einander
zugehören können, wenn entweder die abhängige Variable in beiden
Gleichungen explizite vorkommt, oder wenn sie in beiden fehlt, und
die Reihe der Zahlen a,b,...r mit a,ß,...a zusammenfällt.
Ist
(10)
y = F(x1,x2,...xn,al,a2,...an),
worin willkürliche, voneinander unabhängige konstante
Parameter sind, ein Integral der Differentialgleichung (1) in dem
Sinne, daß y aus (10) und die Ableitungen von y aus
= 0
nicht genügen kann.
Ebensowenig können zwei solche Differentialgleichungen der Form
f\x1,x2,...xn,y1,~—,... —
\ 3 x< d x„
f\x1,x2,...xn,y1+c,-—, ...-— = 0
\ d xt dxn
%y
c>y
,/ <>y
f lx1,x2,...xn, -—,
\
/ 3y
(p Xi,x2,...xn,-—, —-
\ 3^ dXß
dx,. j
^ = 0
9xö/
in welchen y nicht explizite verkommt, und eine der Zahlen a,b,...r,
zum Beispiel a, von a,ß,...o verschieden ist, einander zugehörig sein,
da die Integrale yx+cx^ worin c eine willkürliche Konstante be-
deutet, wieder das Zusammenbestehen der beiden Gleichungen
/hi, *2, •
dyi ^yi\ = 0
’1’ 3xa ’ cxb ’ 3 xr f
. c = o
2xa a^J
erfordern würde, was unmöglich ist.
Es werden somit die beiden Differentialgleichungen (1) und (2)
unter Voraussetzung eines gemeinsamen Integrals nur dann einander
zugehören können, wenn entweder die abhängige Variable in beiden
Gleichungen explizite vorkommt, oder wenn sie in beiden fehlt, und
die Reihe der Zahlen a,b,...r mit a,ß,...a zusammenfällt.
Ist
(10)
y = F(x1,x2,...xn,al,a2,...an),
worin willkürliche, voneinander unabhängige konstante
Parameter sind, ein Integral der Differentialgleichung (1) in dem
Sinne, daß y aus (10) und die Ableitungen von y aus