Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 7

oder es würde die durch (10) gegebene Funktion F der Differen-
tialgleichung
/ Zy Zy Zy \
(O ^,^2, ...Xn, --, --, ... -- = 0
\ d x± d x2 Zxn)
genügen, diese also eine zu (1) zugehörige sein, was, wie oben ge-
zeigt worden, unmöglich ist.
Es ist aber auch umgekehrt j9<0 die hinreichende Bedingung
dafür, daß (10) ein vollständiges Integral von (1) ist. Denn wäre
dies nicht der Fall, so würde (10) noch einer andern, der Gleichung
(1) nicht zugehörigen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
n ( dy V n / ^ \
Q\xl,xz,...xn,y,--,--,...-- =0 (r<n)
genügen. Ist nun y hierin nicht enthalten, besteht also die von
den Parametern a±, a2,... an freie Gleichung
/ 3F 9F ZF \ . '
Q I , x2, • • • xn, —— , —-,... — 1 = 0,
\ ^ai ^Xa2 ZT<^

so ergibt sich, wenn wir beliebige r Parameter a1,a2,...ar heraus-
greifen und die Gleichung nach diesen Parametern differentiieren:
3_Q a2F ZQ Z2F ZQ Z2F
-L-1-1-- — 0
ZF Zx Za± ZF Zx Zax ZF ZxarZar
d —- Z —— Z —
Zxai Zxa2 Zxar


ZQ Z2F ZQ Z2F ZQ Z2F
ZF ZxaxZar ZF ZxaZar ZF ZxarZar

also:

Z2F
Z2F
Z2F
Zx„Za< ZxaZa<
Ui X (X2 -*•
ZxarZar
= 0,
Z2F
Z2F
Z2F
xa2 ^ar $ Xa2 Z ar
Z xar Z ar