Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 9
sein für jeden Wert von i — 1,2,...//. Denn wäre für irgendeinen
Wert von i Dr--D, so ergäbe sich eine von den n Parametern
freie Beziehung
/ 2F $ F dF
-, F, --
\ 3^_i 3^+1
in=o
3^/
und somit für das vollständige Integral y = F eine Differential-
gleichung der Form
x1,x2,...xn,
3y
9^
3y 3y
” 3^ ’ y' 2xi+x
2_y \
3*J
= o,
welche wieder nach der Definition der Vollständigkeit der Inte-
grale eine der Gleichung (13) zugehörige sein müßte, was, wie oben
gezeigt worden, nicht möglich ist, da nur die eine Differentialglei-
chung y explizite enthält. Ist umgekehrt für jeden Wert von
i = l,2,... 72, so wird (10) ein vollständiges Integral von (13) sein;
denn wäre dies nicht der Fall, genügte also y noch einer andern,
der Gleichung (13) nicht zugehörigen Differentialgleichung
n / 32/9?/ dy \
so könnte man, wenn r<n ist, aus der entsprechenden Beziehung
für F
/ 9F 9F 9F\ n
Q2\xx,x2,...xn,F,-—, -—= 0 ,
\ 3zai dxa2 dxar)
wenn in dieser 9F/9^ fehlt, diese Gleichung nach je r der Para-
meter differentiieren, und würde wie oben finden, daß dann gegen
die Voraussetzung die Unterdeterminanten rter Klasse von aus r+1
Vertikalreihen gebildet, also Di selbst verschwinden müßte. Nur dann
wäre der Schluß nicht erlaubt, wenn r = n ist; dann könnte man
aber zwischen (15) und (13) eine Ableitung aus dem angegebenen
Grund eliminieren und würde für dasselbe Integral (10) eine Glei-
chung in y und weniger als n Ableitungen erhalten, also wieder
auf den früheren Fall zurückgeführt werden. Wir finden somit, daß
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß für eine
partielle Differentialgleichung
sein für jeden Wert von i — 1,2,...//. Denn wäre für irgendeinen
Wert von i Dr--D, so ergäbe sich eine von den n Parametern
freie Beziehung
/ 2F $ F dF
-, F, --
\ 3^_i 3^+1
in=o
3^/
und somit für das vollständige Integral y = F eine Differential-
gleichung der Form
x1,x2,...xn,
3y
9^
3y 3y
” 3^ ’ y' 2xi+x
2_y \
3*J
= o,
welche wieder nach der Definition der Vollständigkeit der Inte-
grale eine der Gleichung (13) zugehörige sein müßte, was, wie oben
gezeigt worden, nicht möglich ist, da nur die eine Differentialglei-
chung y explizite enthält. Ist umgekehrt für jeden Wert von
i = l,2,... 72, so wird (10) ein vollständiges Integral von (13) sein;
denn wäre dies nicht der Fall, genügte also y noch einer andern,
der Gleichung (13) nicht zugehörigen Differentialgleichung
n / 32/9?/ dy \
so könnte man, wenn r<n ist, aus der entsprechenden Beziehung
für F
/ 9F 9F 9F\ n
Q2\xx,x2,...xn,F,-—, -—= 0 ,
\ 3zai dxa2 dxar)
wenn in dieser 9F/9^ fehlt, diese Gleichung nach je r der Para-
meter differentiieren, und würde wie oben finden, daß dann gegen
die Voraussetzung die Unterdeterminanten rter Klasse von aus r+1
Vertikalreihen gebildet, also Di selbst verschwinden müßte. Nur dann
wäre der Schluß nicht erlaubt, wenn r = n ist; dann könnte man
aber zwischen (15) und (13) eine Ableitung aus dem angegebenen
Grund eliminieren und würde für dasselbe Integral (10) eine Glei-
chung in y und weniger als n Ableitungen erhalten, also wieder
auf den früheren Fall zurückgeführt werden. Wir finden somit, daß
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß für eine
partielle Differentialgleichung