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https://doi.org/10.11588/diglit.56267#0021
Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 21
/ 3^ 3^2\ 3% / 3^ 3^ 3//2\
\ c>X1 0X2 dx^) cx2 \ dxt cx2 dxx)
ist, die Gleichung befriedigt sein:
/ a^ a^ n
v pi, ^2, ? = 0 ’
\ e>xt CX2 VXi cx2J
also rj1,T]2 ein Integralsystem der zugehörigen Differentialgleichung
(7) sein.
Zwei beliebige, von vier willkürlichen Konstanten abhängige,
Funktionen von xt und x2:
(9) y± ~ i •t'z ? 5 ^121 ^21 •> ^22), y% ~ -^2 »^2 ? ? ^12» ^21, ^22)
können stets als ein Integralsystem von zwei partiellen Differen-
tialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variabein,
welche keine dieser Konstanten enthalten, betrachtet werden, da
man aus (9) und den vier hieraus entspringenden Gleichungen
(10) ?//1 = ^£1 3 ^2 2^1 = ^11
' ' a^ a^ ’ a^2 3a?2’ $xi a#i’ a^2 3&2
die vier Konstanten eliminieren kann und so zu einem den Glei-
chungen (9) äquivalenten partiellen Differentialgleichungssystem
(1) geführt wird, das eine im allgemeinen beliebige Form hat, wenn
Ft und F2 nicht näher bestimmt sind. Wir können aber auch um-
gekehrt schließen, daß einem beliebigen partiellen Differential-
gleichungssystem erster Ordnung, das wir der Einfachheit der Dar-
stellung wegen in der Form
2 ^/i z
(U) TA = /1k1,a;2,y1,y2
3_yi ^=f 0 x v v sJi M
’ Sx2 ’ 3x2)’ 2\ 11 2’ 11 2’ Si'a ’ 3%/
zugrunde legen, wenigstens formal ein Integralsystem mit vier
willkürlichen Konstanten genügt. Da man nämlich nach dem oben
ausgesprochenen Existenzsatz für einen beliebigen Wert % =
unter den angegebenen Bedingungen
/ 3^ 3^2\ 3% / 3^ 3^ 3//2\
\ c>X1 0X2 dx^) cx2 \ dxt cx2 dxx)
ist, die Gleichung befriedigt sein:
/ a^ a^ n
v pi, ^2, ? = 0 ’
\ e>xt CX2 VXi cx2J
also rj1,T]2 ein Integralsystem der zugehörigen Differentialgleichung
(7) sein.
Zwei beliebige, von vier willkürlichen Konstanten abhängige,
Funktionen von xt und x2:
(9) y± ~ i •t'z ? 5 ^121 ^21 •> ^22), y% ~ -^2 »^2 ? ? ^12» ^21, ^22)
können stets als ein Integralsystem von zwei partiellen Differen-
tialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variabein,
welche keine dieser Konstanten enthalten, betrachtet werden, da
man aus (9) und den vier hieraus entspringenden Gleichungen
(10) ?//1 = ^£1 3 ^2 2^1 = ^11
' ' a^ a^ ’ a^2 3a?2’ $xi a#i’ a^2 3&2
die vier Konstanten eliminieren kann und so zu einem den Glei-
chungen (9) äquivalenten partiellen Differentialgleichungssystem
(1) geführt wird, das eine im allgemeinen beliebige Form hat, wenn
Ft und F2 nicht näher bestimmt sind. Wir können aber auch um-
gekehrt schließen, daß einem beliebigen partiellen Differential-
gleichungssystem erster Ordnung, das wir der Einfachheit der Dar-
stellung wegen in der Form
2 ^/i z
(U) TA = /1k1,a;2,y1,y2
3_yi ^=f 0 x v v sJi M
’ Sx2 ’ 3x2)’ 2\ 11 2’ 11 2’ Si'a ’ 3%/
zugrunde legen, wenigstens formal ein Integralsystem mit vier
willkürlichen Konstanten genügt. Da man nämlich nach dem oben
ausgesprochenen Existenzsatz für einen beliebigen Wert % =
unter den angegebenen Bedingungen