Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 23
partiellen Ableitungen von yt und y2 bis zur xten Ordfiung für xx = £x
als bekannte Funktionen von x2, 921(&2), ^2(^2) und deren Ab-
leitungen bis zu einer beliebigen Ordnung hin ergeben.
Wählt man nun für x2 einen beliebigen Wert £2, i*1 dessen
Umgebung <pi(x^ und 992(^2) endlich und eindeutig sind, so wer-
den sich y± und y2 als Funktionen von xt und x2 in der Umgebung
des Wertepaares £1, £2 iu der Form ergeben:
+ 2 (^-f2) p-A) +
V /\^X1dx2l ; ,
' ' S1,S2 X Z Sl, S2J
?/2 = We„f! +
-r 2 £1) $%)
worin die Koeffizienten durch die Werte von 921(^2), ^2 (^2) upd deren
Ableitungen für x2 = g2 gegeben sind, und wofür zur Feststellung
der Konvergenz dieser Reihen noch die in dem bekannten Exi-
stenzsatz angegebenen Bedingungen zu erfüllen sind. Die in die
Ausdrücke eintretenden Konstanten 921(^2)» ^2(^2)» ^2(^2)» •••
bilden die Reihe der beliebig vielen Konstanten, welche in dem
Integralsystem enthalten sind, und welches im allgemeinen für
jeden Wert jener Konstanten den gegebenen Differentialgleichun-
gen Genüge leistet.
Es soll im folgenden ein Integralsystem (9) der Differential-
gleichungen (1) mit vier willkürlichen Konstanten ein vollständiges
genannt werden, wenn dasselbe außer den Gleichungen (1) und
den oben definierten zugehörigen Differentialgleichungen, denen
alle Integralsysteme von (1) genügen, keine andre partielle Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung befriedigt, und es sollen nunmehr
die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für F± und F2
auf gesucht werden, unter denen (9) ein vollständiges Integralsystem
bildet.
partiellen Ableitungen von yt und y2 bis zur xten Ordfiung für xx = £x
als bekannte Funktionen von x2, 921(&2), ^2(^2) und deren Ab-
leitungen bis zu einer beliebigen Ordnung hin ergeben.
Wählt man nun für x2 einen beliebigen Wert £2, i*1 dessen
Umgebung <pi(x^ und 992(^2) endlich und eindeutig sind, so wer-
den sich y± und y2 als Funktionen von xt und x2 in der Umgebung
des Wertepaares £1, £2 iu der Form ergeben:
+ 2 (^-f2) p-A) +
V /\^X1dx2l ; ,
' ' S1,S2 X Z Sl, S2J
?/2 = We„f! +
-r 2 £1) $%)
worin die Koeffizienten durch die Werte von 921(^2), ^2 (^2) upd deren
Ableitungen für x2 = g2 gegeben sind, und wofür zur Feststellung
der Konvergenz dieser Reihen noch die in dem bekannten Exi-
stenzsatz angegebenen Bedingungen zu erfüllen sind. Die in die
Ausdrücke eintretenden Konstanten 921(^2)» ^2(^2)» ^2(^2)» •••
bilden die Reihe der beliebig vielen Konstanten, welche in dem
Integralsystem enthalten sind, und welches im allgemeinen für
jeden Wert jener Konstanten den gegebenen Differentialgleichun-
gen Genüge leistet.
Es soll im folgenden ein Integralsystem (9) der Differential-
gleichungen (1) mit vier willkürlichen Konstanten ein vollständiges
genannt werden, wenn dasselbe außer den Gleichungen (1) und
den oben definierten zugehörigen Differentialgleichungen, denen
alle Integralsysteme von (1) genügen, keine andre partielle Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung befriedigt, und es sollen nunmehr
die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für F± und F2
auf gesucht werden, unter denen (9) ein vollständiges Integralsystem
bildet.