Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 31
das Integralsystem
y± = üxx Xx + <212 X1 X2 + Ö21 + a22 X2
y% = X1 ~2^12 X1 3 $12 X1 x2 ^21 X1 + ^22 X2
ein vollständiges sein; denn zunächst ist
1
0
-1
X2
xi
xx — 3 x2
2xx
0
— 2xx
0
2^2
0
0
— 3^]
0
2^
während von den aus den ersten drei Vertikalreihen gewählten,
also den Elementen der letzten Vertikalreihe zugeordneten Unter-
determinanten
1 0 -1
1 0 -1
x2 xx xx — 3 x2
= 0,
x2 xx —x1~3x2
= 2x2(xx+2x2) =h 0
2xx 0 ~2xx
0 2x2 0
ist, und somit zwischen den drei Funktionen dFJdx^ dFxßx2, c:F2I3xx
als Funktionen von , «i2, «21 > aber nicht als Funktionen von
^11,^12,^22 aufgefaßt, eine von den resp. Parametern freie Bezie-
hung statthat; endlich ergeben sich
xi
0 -1
0
XxX2
xx —xx — 3x2
— 3xx
xl
0 —2 xx
0
xl
2x2 0
2x2
1
0 — xx
0 .
x2
xx —^xl — 3xxx2
— 3xx
2xx
0 —xx
0
0
2x2 xl
2x2
und es sind somit, da in der zweiten Differentialgleichung yx und
y2 enthalten sind, die notwendigen und hinreichenden Bedingun-
gen für das vollständige Integralsystem erfüllt.
das Integralsystem
y± = üxx Xx + <212 X1 X2 + Ö21 + a22 X2
y% = X1 ~2^12 X1 3 $12 X1 x2 ^21 X1 + ^22 X2
ein vollständiges sein; denn zunächst ist
1
0
-1
X2
xi
xx — 3 x2
2xx
0
— 2xx
0
2^2
0
0
— 3^]
0
2^
während von den aus den ersten drei Vertikalreihen gewählten,
also den Elementen der letzten Vertikalreihe zugeordneten Unter-
determinanten
1 0 -1
1 0 -1
x2 xx xx — 3 x2
= 0,
x2 xx —x1~3x2
= 2x2(xx+2x2) =h 0
2xx 0 ~2xx
0 2x2 0
ist, und somit zwischen den drei Funktionen dFJdx^ dFxßx2, c:F2I3xx
als Funktionen von , «i2, «21 > aber nicht als Funktionen von
^11,^12,^22 aufgefaßt, eine von den resp. Parametern freie Bezie-
hung statthat; endlich ergeben sich
xi
0 -1
0
XxX2
xx —xx — 3x2
— 3xx
xl
0 —2 xx
0
xl
2x2 0
2x2
1
0 — xx
0 .
x2
xx —^xl — 3xxx2
— 3xx
2xx
0 —xx
0
0
2x2 xl
2x2
und es sind somit, da in der zweiten Differentialgleichung yx und
y2 enthalten sind, die notwendigen und hinreichenden Bedingun-
gen für das vollständige Integralsystem erfüllt.