Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 59
3co $co 3co 3co
’ 3xn a^ ’ ' a^
rationale Funktionen von xt,...xn, yi,---yv, fiT--fn, und
co sein, und, wenn diese Ausdrücke für die Ableitungen in die
Gleichung (12) substituiert werden, diese Gleichungen wegen der
Irreduktibilität der Gleichung (14) durch sämtliche Lösungen
dieser Gleichung identisch befriedigt werden. Bezeichnen wir nun
die Lösungen der Gleichung (14) mit co1,a>2, ...coq, so ergeben sich
aus den Gleichungen
a co< , a (o< a cox a a>l
a a xn 3yt 3 yv
dco 3 co 3 co
a 3 yx 3 yv
1 a aji
durch Addition derselben oder der mit den resp. co multiplizierten
nach (14) die Beziehungen
dyi
3x}
^Qa
3xn
(a = l,2,...^),
und wir finden daher, daß sich aus einer in den n + v Variabein
2/1, --.yv algebraischen Integralfunktion des Differential-
gleichungssystems (1) eine in diesen Variabein und f^^-fn-,
rationale Integralfunktion ergibt, und ebenso verhält es sich mit
der Ausdehnung dieses Satzes für den Fall, daß die Integralfunk-
tion co von der Form ist:
(15)
co = u + 4- a2 J2 ■ * * 4~
worin
wenn za eine algebraische Funktion von x, ferner w1,w2,...wx und
u algebraische Funktionen von x±, ...xn, y±, ■••yv sind, indem sich
die Umformung der Größen u, wt, ...wx in die rationale Form mit
3co $co 3co 3co
’ 3xn a^ ’ ' a^
rationale Funktionen von xt,...xn, yi,---yv, fiT--fn, und
co sein, und, wenn diese Ausdrücke für die Ableitungen in die
Gleichung (12) substituiert werden, diese Gleichungen wegen der
Irreduktibilität der Gleichung (14) durch sämtliche Lösungen
dieser Gleichung identisch befriedigt werden. Bezeichnen wir nun
die Lösungen der Gleichung (14) mit co1,a>2, ...coq, so ergeben sich
aus den Gleichungen
a co< , a (o< a cox a a>l
a a xn 3yt 3 yv
dco 3 co 3 co
a 3 yx 3 yv
1 a aji
durch Addition derselben oder der mit den resp. co multiplizierten
nach (14) die Beziehungen
dyi
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(a = l,2,...^),
und wir finden daher, daß sich aus einer in den n + v Variabein
2/1, --.yv algebraischen Integralfunktion des Differential-
gleichungssystems (1) eine in diesen Variabein und f^^-fn-,
rationale Integralfunktion ergibt, und ebenso verhält es sich mit
der Ausdehnung dieses Satzes für den Fall, daß die Integralfunk-
tion co von der Form ist:
(15)
co = u + 4- a2 J2 ■ * * 4~
worin
wenn za eine algebraische Funktion von x, ferner w1,w2,...wx und
u algebraische Funktionen von x±, ...xn, y±, ■••yv sind, indem sich
die Umformung der Größen u, wt, ...wx in die rationale Form mit