68 (A. 2)
Leo Koenigsberger:
»Tm = 0, ÖUM = O, ...SS(ei = O
ist, so daß die erneute Anwendung des Symbols <5 auf die Glei-
chung (34) die Identität 0 = 0 liefern würde. Gelangt man aber
bis zu einer Gleichung von der Form (33), so ergibt sich cow als
eine ganze rationale Funktion von ^,...0)^^ mit in den wieder-
holt angegebenen Größen rationalen Koeffizienten, welche wieder
rationale Integralfünktionen von (1) sind, weil, wie durch An-
wendung des Symbols ö auf die Gleichung (33) hervorgeht, wegen
der Voraussetzung, daß nicht schon zwischen co11(ü2i...cok_1 eine
algebraische Beziehung stattfinden sollte, sich die Beziehung
= 0
ergibt, und all diese Schlüsse bleiben bestehen, wenn die Koeffi-
zienten r1? r2,...rm der Gleichung (28) nur von den Integralfunk-
tionen cot, co2, ••• wK-i abhängen, wenn man also von x — 1 beliebi-
gen Integralfunktionen ausgeht und als xte Integralfunktion eine
beliebige rein algebraische Funktion dieser « —1 Funktionen
wählt, welche bekanntlich dann auch immer eine Integralfunktion
ist. Wir finden somit,
daß, wenn die u Integralfunktionen co1, oj2, o)K des Differen-
tialgleichungssystems (1) in einer von den Variabein xi,...xn,ylL,...yv
abhängigen algebraischen Beziehung zueinander stehen und nicht
schon eine solche zwischen weniger als n dieser Integralfunktionen
existiert, dann eine jede derselben a>K eine ganze Funktion von
a>x, co2, ist, deren Koeffizienten rational von xt,...yi,...f1,...y)1,...
abhängige Integralfunktionen der Differentialgleichungen (1) sind,
oder a>H ist die Wurzel einer in a>K algebraischen Gleichung, deren
Koeffizienten rational ganz aus a>1, co2,...cox_1 zusammengesetzt sind,
deren Koeffizienten wiederum rationale Integralfunktionen von (1)
sind.
Leo Koenigsberger:
»Tm = 0, ÖUM = O, ...SS(ei = O
ist, so daß die erneute Anwendung des Symbols <5 auf die Glei-
chung (34) die Identität 0 = 0 liefern würde. Gelangt man aber
bis zu einer Gleichung von der Form (33), so ergibt sich cow als
eine ganze rationale Funktion von ^,...0)^^ mit in den wieder-
holt angegebenen Größen rationalen Koeffizienten, welche wieder
rationale Integralfünktionen von (1) sind, weil, wie durch An-
wendung des Symbols ö auf die Gleichung (33) hervorgeht, wegen
der Voraussetzung, daß nicht schon zwischen co11(ü2i...cok_1 eine
algebraische Beziehung stattfinden sollte, sich die Beziehung
= 0
ergibt, und all diese Schlüsse bleiben bestehen, wenn die Koeffi-
zienten r1? r2,...rm der Gleichung (28) nur von den Integralfunk-
tionen cot, co2, ••• wK-i abhängen, wenn man also von x — 1 beliebi-
gen Integralfunktionen ausgeht und als xte Integralfunktion eine
beliebige rein algebraische Funktion dieser « —1 Funktionen
wählt, welche bekanntlich dann auch immer eine Integralfunktion
ist. Wir finden somit,
daß, wenn die u Integralfunktionen co1, oj2, o)K des Differen-
tialgleichungssystems (1) in einer von den Variabein xi,...xn,ylL,...yv
abhängigen algebraischen Beziehung zueinander stehen und nicht
schon eine solche zwischen weniger als n dieser Integralfunktionen
existiert, dann eine jede derselben a>K eine ganze Funktion von
a>x, co2, ist, deren Koeffizienten rational von xt,...yi,...f1,...y)1,...
abhängige Integralfunktionen der Differentialgleichungen (1) sind,
oder a>H ist die Wurzel einer in a>K algebraischen Gleichung, deren
Koeffizienten rational ganz aus a>1, co2,...cox_1 zusammengesetzt sind,
deren Koeffizienten wiederum rationale Integralfunktionen von (1)
sind.