4 (A.4)
Oskar Perron:
Mit der gegebenen Definition der Funktion gleichbedeu-
tend ist offenbar die folgende. Läßt man in dem Ausdruck
\q£-p\ ?
p alle ganzen, q alle positiven ganzen Zahlen durchlaufen, so ist
der reziproke Wert der kleinsten Häufungszahl der so ent-
stehenden Zahlenmenge, bzw. = wenn diese kleinste Häu-
fungszahl 0 ist.
Einen bequemen Ausdruck für die Funktion M erhält man,
wenn man £ in einen regelmäßigen Kettenbruch entwickelt:
(1)
wobei ich mich in der Bezeichnungsweise meinem Buch1 anschließe.
Wie dort seien AvfBv die Näherungsbrüche, und die vollständi-
gen Quotienten, so daß und
Bv Bv(B^v+1+Bv_^
ist2. Da von zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen min-
destens einer die Eigenschaft hat, daß
1
W
ist3, so ist gewiß Da anderseits, wenn
£_ 1
q
ist, der Bruch p[q stets ein Näherungsbruch des Kettenbruches
sein muß4, so kann man bei den obigen Definitionen der Funk-
tion die Brüche pjq auf die Näherungsbrüche AV[BV be-
schränken. Setzt man dann
1 O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig 1913.
2 a. a. O. Seite 43, Formel (7).
3 a. a. O. Seite 48, Satz 14.
4 a. a. O. Seite 45, Satz 11.
Oskar Perron:
Mit der gegebenen Definition der Funktion gleichbedeu-
tend ist offenbar die folgende. Läßt man in dem Ausdruck
\q£-p\ ?
p alle ganzen, q alle positiven ganzen Zahlen durchlaufen, so ist
der reziproke Wert der kleinsten Häufungszahl der so ent-
stehenden Zahlenmenge, bzw. = wenn diese kleinste Häu-
fungszahl 0 ist.
Einen bequemen Ausdruck für die Funktion M erhält man,
wenn man £ in einen regelmäßigen Kettenbruch entwickelt:
(1)
wobei ich mich in der Bezeichnungsweise meinem Buch1 anschließe.
Wie dort seien AvfBv die Näherungsbrüche, und die vollständi-
gen Quotienten, so daß und
Bv Bv(B^v+1+Bv_^
ist2. Da von zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen min-
destens einer die Eigenschaft hat, daß
1
W
ist3, so ist gewiß Da anderseits, wenn
£_ 1
q
ist, der Bruch p[q stets ein Näherungsbruch des Kettenbruches
sein muß4, so kann man bei den obigen Definitionen der Funk-
tion die Brüche pjq auf die Näherungsbrüche AV[BV be-
schränken. Setzt man dann
1 O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig 1913.
2 a. a. O. Seite 43, Formel (7).
3 a. a. O. Seite 48, Satz 14.
4 a. a. O. Seite 45, Satz 11.