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Perron, Oskar; Heidelberger Akademie der Wissenschaften / Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse [Editor]
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse: Abteilung A, Mathematisch-physikalische Wissenschaften (1921, 4. Abhandlung): Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale: [1] — Heidelberg: Winter, 1921

DOI Page / Citation link: 
https://doi.org/10.11588/diglit.56258#0006
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6 (A.4)

Oskar Perron:

§ 2.
Berechnung von wenn £ eine quadratische
Irrationalzahl ist.

Bei einer quadratischen Irrationalzahl £ ist der Kettenbruch
periodisch. Für die Berechnung von spielt die Vorperiode
keine Rolle; man kann sie weglassen, da das ja nur den Übergang
zu einer äquivalenten Zahl bedeutet. Sei also

[&o, ••• A-i] = £o =

j'D + P.


ein reinperiodischer Kettenbruch mit Ä-gliedriger Periode, und seien

[^2, ^2+1, • 5 ^k-li &()>•••> ^2-1 ] “ ^2 —

I<P+^

die vollständigen Quotienten (2 = 0,1,...,k — 1). Dann folgt aus
(5) leicht:
(6) v=°°_
+ [° A’ ^-1,..., ^+1] •

Hier ist der erste Kettenbruch gleich £^+1, und der zweite ist,
weil er gerade die inverse Periode des ersten hat, gleich —£^+1,
wo £^+1 die zu £jK+1 konjugierte Zahl bedeutet6. Daher folgt aus (6):

lim n -t - P - ^D + Pv+i
lim Q/i+vk £>+1 „
v=oo

-|<P + f„+i = ^D

und somit ist nach (4) J/(£) die größte der k Zahlen

2]/D 2j/Z) 2]/D


6 a. a. O. Seite 83, Satz 6.
 
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