Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. (A. 4) 7

Hiermit ist bewiesen

Satz 3. Ist £0 = e^n regelmäßiger reinperiodi-
scher Kettenbruch mit den vollständigen Quotienten

]!P + Pi
und ist Q die kleinste der Zahlen QqiQit-, Qk_r, so ist M (£) = •
Wendet man das insbesondere auf einen eingliedrig periodi-
schen Kettenbruch an, so findet man die Formel

(7)

= ]/i2 + 4

/ 6 + )/62 + 4
<--
\

(6 = 1,2,3,...).

Ferner ergibt sich aus Satz 3 sofort
Satz 4. Für jede positive ganze nichtquadratische Zahl D ist
Denn die Q\ sind ganze Zahlen, unter denen die klein-
ste ist.
In § 1 wurde die Frage aufgeworfen, ob die Ungleichung

(A)

e-4

i

durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen p,q befriedigt wird
oder nicht. Um an je einem Beispiel zu zeigen, daß beide Fälle
vorkommen können, betrachten wir zuerst die Zahl £ = wo-
bei b > c sein soll. Aus Satz 3 folgt dann:

.. ]/b2c2 + Abc
^(f) = - ——

Nun liefert die Formel (5) in unserm Fall speziell

_ _ _ 4~4:Z?C
e2,-i = M + [0,e,b,c,b,b,c] > p,c] + [0,c,&] - -I-= .

Daher ist