10 (A.4)
Oskar Perron:
B
Falls aber gr+1 —— < 1 ist, ergibt sich dasselbe aus der zweiten
V
Ungleichung (8). Die Ungleichungen (9) gelten also in allen Fällen.
Man kann daher
1
(10) Jf(^) + e = y+-—
setzen, wo y>l ist, und dann folgt aus (9), weil die Funktion
1
x H-für x > 1 mit x zugleich wächst,
x
(11) y>fv+1, fürr>A.
Sind nun u, t die in Satz 5 eingeführten Zahlen, so ist
(12) a = ...,ö(2w"1),u] ,
(13) r ...,b", b', rj .
Wir wollen zeigen, daß y>a und y > t ist. Unter den Voraus-
setzungen des Satzes 5 tritt es nämlich für unendlich viele r-Werte
ein, daß
bv+1 = b’, bv+2 = b",..., b^^b^
ist. Wäre nun y<(>, also nach (11) gewiß <y>£„+1, a>|v+2w, so
würde sich ergeben:
a > f„+1 = p/, b",b^-'\ fr+2„] > [y, b",b^-\ 4,
im Widerspruch mit (12). Ebenso würde sich, wenn y<,T, also
B B
nach (11) auch t >, t>—-+2w~1 wäre, ergeben:
^v-1 Bv+2n— 2
^+2n-l
^v+2n-2.
Oskar Perron:
B
Falls aber gr+1 —— < 1 ist, ergibt sich dasselbe aus der zweiten
V
Ungleichung (8). Die Ungleichungen (9) gelten also in allen Fällen.
Man kann daher
1
(10) Jf(^) + e = y+-—
setzen, wo y>l ist, und dann folgt aus (9), weil die Funktion
1
x H-für x > 1 mit x zugleich wächst,
x
(11) y>fv+1, fürr>A.
Sind nun u, t die in Satz 5 eingeführten Zahlen, so ist
(12) a = ...,ö(2w"1),u] ,
(13) r ...,b", b', rj .
Wir wollen zeigen, daß y>a und y > t ist. Unter den Voraus-
setzungen des Satzes 5 tritt es nämlich für unendlich viele r-Werte
ein, daß
bv+1 = b’, bv+2 = b",..., b^^b^
ist. Wäre nun y<(>, also nach (11) gewiß <y>£„+1, a>|v+2w, so
würde sich ergeben:
a > f„+1 = p/, b",b^-'\ fr+2„] > [y, b",b^-\ 4,
im Widerspruch mit (12). Ebenso würde sich, wenn y<,T, also
B B
nach (11) auch t >, t>—-+2w~1 wäre, ergeben:
^v-1 Bv+2n— 2
^+2n-l
^v+2n-2.