Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. (A. 4) 11
im Widerspruch mit (13). Daher ist in der Tat y > o und y>r,
und folglich auch
1
M (£) + e = y H-
7
Da aber e beliebig klein sein darf, ist damit Satz 5 bewiesen.
Ist die Folge der unvollständigen Quotienten bv nicht be-
schränkt, so ist nach Satz 1 Jf(£) = oo. Ist sie aber beschränkt,
und ist etwa b der größte unter den unendlich oft auftretenden
unvollständigen Quotienten, so ist nach Satz (5)
i
Wir können das zusammenfassen in
Satz 6. Wenn in der Kettenbruchentwicklung einer Zahl £ un-
endlich viele unvollständige Quotienten >b sind, so ist
Wenn keine oder nur endlich viele unvollständige Quotienten
größer als 1 sind, wenn die Zahl £ also mit
r-, ]/5 + l
[1J - 2
äquivalent ist, so ist nach Satz 3, bzw. Formel (7), = ]z5;
bei allen andern Zahlen £ gibt es unendlich viele unvollständige
Quotienten, die > 2 sind, so daß nach Satz 6 Tif(^) > y8 sein muß.
Dieses Resultat hat auf andre Weise bereits Hurwitz gefunden7;
wir wollen es noch ausdehnen, indem wir folgendes beweisen:
Satz 7.
A. Für die mit ———— äquivalenten Zahlen £ ist 7kf(£) = (5-
B. Für die mit y 2 äquivalenten Zahlen ist 5.
7 A. Hurwitz, Über die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen
durch rationale Brüche. Mathematische Annalen 39 (1891). — Ein andrer
Beweis findet sich bei M. Fujiwara, Bemerkung zur Theorie der Appro-
ximation der irrationalen Zahlen durch rationale Zahlen. The Töhoku
mathematical Journal 11 (1917).
im Widerspruch mit (13). Daher ist in der Tat y > o und y>r,
und folglich auch
1
M (£) + e = y H-
7
Da aber e beliebig klein sein darf, ist damit Satz 5 bewiesen.
Ist die Folge der unvollständigen Quotienten bv nicht be-
schränkt, so ist nach Satz 1 Jf(£) = oo. Ist sie aber beschränkt,
und ist etwa b der größte unter den unendlich oft auftretenden
unvollständigen Quotienten, so ist nach Satz (5)
i
Wir können das zusammenfassen in
Satz 6. Wenn in der Kettenbruchentwicklung einer Zahl £ un-
endlich viele unvollständige Quotienten >b sind, so ist
Wenn keine oder nur endlich viele unvollständige Quotienten
größer als 1 sind, wenn die Zahl £ also mit
r-, ]/5 + l
[1J - 2
äquivalent ist, so ist nach Satz 3, bzw. Formel (7), = ]z5;
bei allen andern Zahlen £ gibt es unendlich viele unvollständige
Quotienten, die > 2 sind, so daß nach Satz 6 Tif(^) > y8 sein muß.
Dieses Resultat hat auf andre Weise bereits Hurwitz gefunden7;
wir wollen es noch ausdehnen, indem wir folgendes beweisen:
Satz 7.
A. Für die mit ———— äquivalenten Zahlen £ ist 7kf(£) = (5-
B. Für die mit y 2 äquivalenten Zahlen ist 5.
7 A. Hurwitz, Über die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen
durch rationale Brüche. Mathematische Annalen 39 (1891). — Ein andrer
Beweis findet sich bei M. Fujiwara, Bemerkung zur Theorie der Appro-
ximation der irrationalen Zahlen durch rationale Zahlen. The Töhoku
mathematical Journal 11 (1917).