12 (A.4)
Oskar Perron:
g.
D.
Für die mit
/221+9
10
äquivalenten Zahlen £ ist =
Für alle andern Zahlen ist M (£) >
Die Behauptungen A und B entnimmt man aus Formel (7)
für b = 1 und b = 2. Ebenso ergibt sich die Behauptung G leicht
aus Satz 3. Schwieriger gestaltet sich der Beweis für die Behaup-
tung D. Sind unendlich viele unvollständige Quotienten >3, so
1/221
ist nach Satz 6 M(ß) > ]/13 > — • Wir brauchen also nur noch
Kettenbrüche zu untersuchen, deren unvollständige Quotienten
2 sind. Die Fälle, daß nur endlich viele Zweier oder nur end-
lich viele Einser vorkommen, sind durch die Aussagen A und B
erledigt, so daß wir nur noch den Fall brauchen, daß unendlich
viele Zweier und unendlich viele Einser auftreten. Wenn dabei
von einer gewissen Stelle an immer abwechselnd zwei Zweier und
zwei Einser auftreten, so daß die Zahl mit dem periodischen
Kettenbruch
äquivalent ist, so ist dieser Fall durch die Aussage C erledigt. Bei
den jetzt noch übrigbleibenden Fällen muß in der Folge der un-
vollständigen Quotienten wenigstens einer der vier nachstehenden
Zahlenkomplexe unendlich oft auftreten:
(I)
1, 2, 1
(II)
2, 1, 2
(III)
2, 2, 2, 1, 1
(IV)
2, 2, 1, 1, 1 .
Im Fall (l) ist für unendlich viele v mit Rücksicht auf (5)
Qv = [2,1,...]+ [0,1,...,^] > [2,2]+ [0,2] = -f-+l = 3;
daher wegen (4) auch
Oskar Perron:
g.
D.
Für die mit
/221+9
10
äquivalenten Zahlen £ ist =
Für alle andern Zahlen ist M (£) >
Die Behauptungen A und B entnimmt man aus Formel (7)
für b = 1 und b = 2. Ebenso ergibt sich die Behauptung G leicht
aus Satz 3. Schwieriger gestaltet sich der Beweis für die Behaup-
tung D. Sind unendlich viele unvollständige Quotienten >3, so
1/221
ist nach Satz 6 M(ß) > ]/13 > — • Wir brauchen also nur noch
Kettenbrüche zu untersuchen, deren unvollständige Quotienten
2 sind. Die Fälle, daß nur endlich viele Zweier oder nur end-
lich viele Einser vorkommen, sind durch die Aussagen A und B
erledigt, so daß wir nur noch den Fall brauchen, daß unendlich
viele Zweier und unendlich viele Einser auftreten. Wenn dabei
von einer gewissen Stelle an immer abwechselnd zwei Zweier und
zwei Einser auftreten, so daß die Zahl mit dem periodischen
Kettenbruch
äquivalent ist, so ist dieser Fall durch die Aussage C erledigt. Bei
den jetzt noch übrigbleibenden Fällen muß in der Folge der un-
vollständigen Quotienten wenigstens einer der vier nachstehenden
Zahlenkomplexe unendlich oft auftreten:
(I)
1, 2, 1
(II)
2, 1, 2
(III)
2, 2, 2, 1, 1
(IV)
2, 2, 1, 1, 1 .
Im Fall (l) ist für unendlich viele v mit Rücksicht auf (5)
Qv = [2,1,...]+ [0,1,...,^] > [2,2]+ [0,2] = -f-+l = 3;
daher wegen (4) auch