Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale.

(A.4) 17

Satz 9. Die Menge der Zahlen , für welche M(l-) = 3 ist, hat
die Mächtigkeit des Kontinuums.
Zum Beweis betrachten wir eine Zahl £, deren Kettenbruch-
entwicklung die Form hat:
Ai A2 A3
| = [2,2, CTj, 2,2, ryTTj, 2,2,17771,2,2,1,...] ;
es sollen also immer genau zwei Zweier aufeinanderfolgen, und außer-
dem sollen die Anzahlen , Ä2,23,... der zwischen zwei Zweier-
paaren stehenden Einser stets wachsen: < 22 < z3 < • • •. Offen-
bar hat die Menge dieser Zahlen £ die Mächtigkeit des Kontinu-
ums, und wir wollen jetzt zeigen, daß Af(£)=3 ist.
Auf Grund der Formel (5) erkennt man leicht, daß unter den
Häufungszahlen der Folge £?i, £3, ••• jedenfalls die beiden folgen-
den vorhanden sind:
[2,2, l] + [0, 1] ,
[2,1]+ [0,2, 1] ,
die aber beide einander gleich und zwar gleich 3 sind. Alle andern
etwa noch vorhandenen Häufungszahlen entstehen als Grenzwert
einer Folge vpn Zahlen der Form
Diese Zahlen sind aber
< [2]+ [0,1,3] = 4,
so daß auch ihr Grenzwert <; ist. Die Häufungszahl 3 ist daher
gewiß die größte Häufungszahl, also ist
lim sup qv = 3 ,
V = 00
und daher nach (4) auch M (£) = 3. W. z.b.w.

Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 4. Abh.

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