Die einfache geometrische Bedeutung des Gleichungssystems,
durch das die BÄcKLUNDsche Transformation1 der Flächen kon-
stanten negativen Krümmungsmaßes definiert wird, legt den
Wunsch nahe, die durch die Transformation vermittelten Zu-
sammenhänge auch ohne weitgehende Hilfsmittel der Flächen-
theorie zu erkennen.
Diesem Wunsch entstammt die folgende Darlegung, die sich
zum Nachweis der Haupteigenschaft dabei der von F. Engel ein-
geführten Koordinaten für die Elemente zweiter Ordnung bedient.
Nachdem diese erwiesen, also erkannt ist, welche Flächen kon-
stanten negativen Krümmungsmaßes wieder in gleichartige Flä-
chen übergehen, ergeben sich bei Einführung gewisser Vektoren
die weiteren Eigenschaften leicht. Insbesondere kann die von
Darboux2 für den einfachsten Fall der BÄCKLUNDschen Trans-
formation (a = 7r/2) angegebene Figur auch für den allgemeinen
Fall aufgebaut werden, ohne daß man die Theorie der dreifachen
Orthogonalsysteme usw. heranzuziehen braucht.
I.
Die BÄcKLUNDsche Transformation ist gegeben durch die
Gleichungen
(ß)
(1)
(?)
(3)
^-x)2+(yi-y)2+(z1-z)2 = k2,
z-zi~p(x-xi)-q(y-yi) = 0,
z1-z-p1(x1-x)-q1(y1-y) = °, _
P Pi + yVi + l = cos a]/l + p2 + q2 ^1 + Pi + ql •
Jedem Flächenelement Ef^x^y^z^p^q) wird also ein Kranz von
Flächenelementen Er (x±, yx, , pr, qj zugeordnet, deren Träger,
die Punkte P^x^y^z^ auf einem Kreis angeordnet sind. Dieser
Kreis hat den Punkt y,z) zum Mittelpunkt, sein Radius ist Ä,
ferner liegt er in der Ebene des ersten Elements. Die vierte Glei-
1 Vgl. Math. Enzyklopädie III D 6 a (Abbildung und Abwicklung zweier
Flächen aufeinander) Nr. 29, und III D 7 (Berührungstransformationen)
Nr. 16.
2 Darboux, Theorie des surfaces III (Paris 1894), p. 430.
i*
durch das die BÄcKLUNDsche Transformation1 der Flächen kon-
stanten negativen Krümmungsmaßes definiert wird, legt den
Wunsch nahe, die durch die Transformation vermittelten Zu-
sammenhänge auch ohne weitgehende Hilfsmittel der Flächen-
theorie zu erkennen.
Diesem Wunsch entstammt die folgende Darlegung, die sich
zum Nachweis der Haupteigenschaft dabei der von F. Engel ein-
geführten Koordinaten für die Elemente zweiter Ordnung bedient.
Nachdem diese erwiesen, also erkannt ist, welche Flächen kon-
stanten negativen Krümmungsmaßes wieder in gleichartige Flä-
chen übergehen, ergeben sich bei Einführung gewisser Vektoren
die weiteren Eigenschaften leicht. Insbesondere kann die von
Darboux2 für den einfachsten Fall der BÄCKLUNDschen Trans-
formation (a = 7r/2) angegebene Figur auch für den allgemeinen
Fall aufgebaut werden, ohne daß man die Theorie der dreifachen
Orthogonalsysteme usw. heranzuziehen braucht.
I.
Die BÄcKLUNDsche Transformation ist gegeben durch die
Gleichungen
(ß)
(1)
(?)
(3)
^-x)2+(yi-y)2+(z1-z)2 = k2,
z-zi~p(x-xi)-q(y-yi) = 0,
z1-z-p1(x1-x)-q1(y1-y) = °, _
P Pi + yVi + l = cos a]/l + p2 + q2 ^1 + Pi + ql •
Jedem Flächenelement Ef^x^y^z^p^q) wird also ein Kranz von
Flächenelementen Er (x±, yx, , pr, qj zugeordnet, deren Träger,
die Punkte P^x^y^z^ auf einem Kreis angeordnet sind. Dieser
Kreis hat den Punkt y,z) zum Mittelpunkt, sein Radius ist Ä,
ferner liegt er in der Ebene des ersten Elements. Die vierte Glei-
1 Vgl. Math. Enzyklopädie III D 6 a (Abbildung und Abwicklung zweier
Flächen aufeinander) Nr. 29, und III D 7 (Berührungstransformationen)
Nr. 16.
2 Darboux, Theorie des surfaces III (Paris 1894), p. 430.
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