Der geometrische Aufbau der BÄCKLUNüschen Transformation. (A. 5) 5
n — nA m = u sin a, n1 l — l± n = v sin a, m — m11 = w sin a,
Zt —Zcosa = asina, mcosa = frsina, n1—ncosa = csina,
(6)
l —l± cosa = d^sina, m — m^cosa = 6tsina, n — n1cosa= t^sina,
a ar + b bt + c ct = — cos a.
Diese Tabelle wird gebraucht, um die aus der Differentiation der
Gleichungen B sich ergebenden Beziehungen übersichtlich darzu-
stellen.
Da wir später (Nr. III) die Normale des ersten Elements mit
der 2-Achse, den Punkt P mit dem Koordinatenanfang zusammen-
fallen lassen, so wollen wir für diesen Fall auch gleich die Tabelle
aufstellen:
(r)
l = 0, m = 0, tz = 1, [p = q = 0] ,
u = cos #, v — sin #, w = 0 ,
a = —sin#, 6 —cos#, e = 0,
Zt = — sin# sina, = cos# sina, nr = cosa,
[Pi = sin# tanga, q± = — cos# tanga] ,
aY — sin# cosa, b± = — cos# cosa, <^ = 8^10.
II.
Wir leiten nunmehr die Haupteigenschaft der Bäcklund-
schen Transformation ab. Man erhält aus (1) durch Differentiation
dx^—x)-\- d y(yi—y) + dz (^—2) = dx1(x1—x) + dyl^y1—y) + dzi(zi--z)
oder mit Rücksicht auf (T) und die Gleichungen
dz = pdx + qdy^ dzt = p±dx± + qtdyt1
(u + wp)dx + (y + wq)dy = (u + wp^ dx1 + (v + wq1)dyl,
und dies vereinfacht sich wegen
n — nA m = u sin a, n1 l — l± n = v sin a, m — m11 = w sin a,
Zt —Zcosa = asina, mcosa = frsina, n1—ncosa = csina,
(6)
l —l± cosa = d^sina, m — m^cosa = 6tsina, n — n1cosa= t^sina,
a ar + b bt + c ct = — cos a.
Diese Tabelle wird gebraucht, um die aus der Differentiation der
Gleichungen B sich ergebenden Beziehungen übersichtlich darzu-
stellen.
Da wir später (Nr. III) die Normale des ersten Elements mit
der 2-Achse, den Punkt P mit dem Koordinatenanfang zusammen-
fallen lassen, so wollen wir für diesen Fall auch gleich die Tabelle
aufstellen:
(r)
l = 0, m = 0, tz = 1, [p = q = 0] ,
u = cos #, v — sin #, w = 0 ,
a = —sin#, 6 —cos#, e = 0,
Zt = — sin# sina, = cos# sina, nr = cosa,
[Pi = sin# tanga, q± = — cos# tanga] ,
aY — sin# cosa, b± = — cos# cosa, <^ = 8^10.
II.
Wir leiten nunmehr die Haupteigenschaft der Bäcklund-
schen Transformation ab. Man erhält aus (1) durch Differentiation
dx^—x)-\- d y(yi—y) + dz (^—2) = dx1(x1—x) + dyl^y1—y) + dzi(zi--z)
oder mit Rücksicht auf (T) und die Gleichungen
dz = pdx + qdy^ dzt = p±dx± + qtdyt1
(u + wp)dx + (y + wq)dy = (u + wp^ dx1 + (v + wq1)dyl,
und dies vereinfacht sich wegen