Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. II. (A. 8) 5
Die Reihe der Markoff sehen Zahlen läßt sich auf einfache
Art sukzessive berechnen, wie Hurwitz4 und Frobenius5 dar-
getan haben; sie beginnt mit
1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433 .
Die Markoff sehen Betrachtungen, die zum Beweis von Satz 1
erforderlich sind, füllen a. a.O. über 30 Seiten und sind recht kom-
pliziert; ich vermag sie aber nicht durch einfachere zu ersetzen.
Will man nur zeigen, daß für die angegebenen Zahlen £ wirklich
|/9(92-4
= -i»t, so führt ein von Frobenius a. a. 0. an-
gegebener Gedankengang rascher zum Ziel. Um aber auch zu
zeigen, daß nur für diese Zahlen £ und die damit äquivalenten
die Ungleichung M(£)<3 gilt, können die MARKOFFSchen Betrach-
tungen wohl nicht entbehrt werden.
Satz 1 gestattet, den Satz 7 von I beliebig zu verschärfen.
Es ergibt sich eine Tabelle, deren Anfang den obigen elf Markoff-
schen Zahlen entsprechend folgender ist:
Für die mit £ äquivalenten Zahlen ist = M.
%
111J5+l
11 2
i-i 1/32+4 „
(2] = — =--|/2 + l
i 1 1/221+9
2,2,1,1 = --
( ’ ’ ’ J 10
)/ 221
, - | 11517 + 23
2,2,1,1,1,1 = L
1 J 26
]/1517
13
4 A. Hurwitz, Über eine Aufgabe der unbestimmten Analysis. Archiv
der Mathematik und Physik, dritte Reihe, Bd. 11 (1906).
5 G. Frobenius, Über die MARKOFFSchen Zahlen. Sitzungsberichte der
Preuß. Akademie der Wissenschaften 1913.
Die Reihe der Markoff sehen Zahlen läßt sich auf einfache
Art sukzessive berechnen, wie Hurwitz4 und Frobenius5 dar-
getan haben; sie beginnt mit
1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433 .
Die Markoff sehen Betrachtungen, die zum Beweis von Satz 1
erforderlich sind, füllen a. a.O. über 30 Seiten und sind recht kom-
pliziert; ich vermag sie aber nicht durch einfachere zu ersetzen.
Will man nur zeigen, daß für die angegebenen Zahlen £ wirklich
|/9(92-4
= -i»t, so führt ein von Frobenius a. a. 0. an-
gegebener Gedankengang rascher zum Ziel. Um aber auch zu
zeigen, daß nur für diese Zahlen £ und die damit äquivalenten
die Ungleichung M(£)<3 gilt, können die MARKOFFSchen Betrach-
tungen wohl nicht entbehrt werden.
Satz 1 gestattet, den Satz 7 von I beliebig zu verschärfen.
Es ergibt sich eine Tabelle, deren Anfang den obigen elf Markoff-
schen Zahlen entsprechend folgender ist:
Für die mit £ äquivalenten Zahlen ist = M.
%
111J5+l
11 2
i-i 1/32+4 „
(2] = — =--|/2 + l
i 1 1/221+9
2,2,1,1 = --
( ’ ’ ’ J 10
)/ 221
, - | 11517 + 23
2,2,1,1,1,1 = L
1 J 26
]/1517
13
4 A. Hurwitz, Über eine Aufgabe der unbestimmten Analysis. Archiv
der Mathematik und Physik, dritte Reihe, Bd. 11 (1906).
5 G. Frobenius, Über die MARKOFFSchen Zahlen. Sitzungsberichte der
Preuß. Akademie der Wissenschaften 1913.