Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. II. (A. 8) 11
Damit ist die Behauptung


243+ 65
22 ~

in allen Fällen bewiesen. Man kann aber auch leicht Zahlen £ an-
geben, für welche hier Gleichheit gilt. Dazu betrachten wir Zahlen
der Form
f = [^,2,3,3, ^,2,3,3, ,
wobei die Indizes nur der Bedingung
lim lv = oo
V— qg
zu genügen brauchen. Die Menge dieser Zahlen £ hat offenbar
die Mächtigkeit des Kontinuums. Bildet man nun die Folge
@i, @2, • • • (vgl- I Fl. (5)}, so sind unter ihren Häufungszahlen
jedenfalls die beiden folgenden vorhanden:

[3,2,1] + [0,3,2,1] ,
[3,3,24] + [0,2J] ,

.. k k 1 • k /243 + 65 . , A11 , ,
die aber beide gleich ----sind. Alle andern etwa noch vor-
handenen Häufungszahlen entstehen als Grenzwert einer Folge
von Zahlen der beiden Formen

ri,...j + ro,...].

Diese Zahlen sind aber

< [2,1,4] + [0,1,4] = — <

lz243 + 65
22

so daß auch ihr Grenzwert < —- ist. Die oben gefundene Häu-
fungszahl ist daher die größte, und folglich (vgl. I Fl. (4))