Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron:

ist. Die fehlenden Ordnungszahlen sind nunmehr1)
1, 1+n, l + 2n, . . ., —l)n,
( 2, 24-92-, 24~2n, . . 2 + (/z2 — 1) n,
n-1, (n-l) + n, . . (n-1) + - l)n,
und da ihre Anzahl gleich dem Geschlecht p sein muß, ist
(4) [1] + ^ + . . .-\-pn_-L = p.
Die Funktionen
(5) £(°> = 1, £<*>, £<2>, . . ., £(»~D
bilden eine Basis des zur RiEMANNschen £-Fläche (also auch zur
ursprünglichen RiEMANNschen Fläche) gehörigen algebraischen Funk-
tionenkörpers, d. h. jede Funktion des Körpers, die nur in q singulär
wird, hat die Form
n—1
(6)
Ä=0
wo die gganze rationale Funktionen von £ sind. In der Tat,
wenn eine solche Funktion u etwa einen, Pol ?nter Ordnung in q hat,
so kann man m in die Form

m = li-\-vn
setzen, wo h eine der Zahlen 0, 1, . . ., n — 1 und ist (dabei
bedeutet p0 die Zahl 0). Dann hat aber die Funktion

u — y £1

bei passender Wahl der Konstanten y nur noch einen Pol von ge-
ringerer als ?nte1' Ordnung in q. Man kann also dadurch, daß man
von u eine Funktion der Form (6) subtrahiert, die Ordnung des Poles
erniedrigen und so fortfahren, bis der Pol wegfällt, so daß nur mehr
eine Funktion ohne Pol, also eine Konstante übrigbleibt. Da diese
wegen £<°> = 1 aber ebenfalls in der Form (6) enthalten ist, so ist
damit unsere Behauptung bewiesen.
Bezeichnet man die n Zweige der Funktion £ auf der £-Fläche
mit £ W, Zf®, . . ., £n(Ä), so werden durch die Gleichungen


«. (n — 1)
Q
x

(n— i)

(x, 2 = 1, 2, ..., n)

1 für x — 2
0 für x f 2

gewisse Funktionen definiert, und zwar sind tjW, • ■ ■>

die n Zweige einer Funktion des algebraischen Funktionenkörpers.
In der Umgebung von q ist naqh (1) und (2)

) Für ph — 0 fällt in dem System (3) die 7ite Zeile natürlich weg.