Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron:

0=2 / [p- <<) - (»;)]d +i f [ (* ;>
. A-a* ^b:
- vv{bÄ )1 d v„ = 2 Az£.„z - s £>o. M-
J 2=1 2=1
Somit haben wir die p (2 p — 1) Periodenrelationen:
(16) (A2£u2-^24u2) = 0 für r+/z<2p.
2=1
Eine lineare Kombination der 2 p Integrale (14) kann niemals
lauter verschwindende Perioden haben; sonst wäre sie eine algebraische
Funktion, die in q endlich wäre, ohne konstant zu sein, oder einen
Pol von fehlender Ordnungszahl hätte, was nicht möglich ist. Daher
ist die Determinante der (2 p)2 Perioden Av Bv^ von Null ver-
schieden; also

Ai
A2
• • Ap
Ai
Bi 2 •
• • Blp
Ai
-A 2
• A?
Ai
B22
• B2P
Ap >1 ^2P >2 •
• ^2P > V
Ap,i
B2V,2 •
• B2v,v

Infolgedessen hat, wenn l eine der Zahlen 1, 2, . . ., 2 p ist, die
Matrix aus den l ersten Zeilen dieser Determinante den Rang l. Da-
her haben die l linearen Gleichungen mit 2 p Unbekannten
p
(18) 2 (^2^-^2?/2) = 0 (r = l, 2, . . ., Z)
2=i
genau 2p — Z linear unabhängige Lösungen. Diese sind leicht anzu-
geben; denn nach (16) sind
(19) —
für p = l, 2, . . ., 2p — Z jedenfalls 2p — Z Lösungen; und diese sind
linear unabhängig, weil ihre Matrix ja gerade die Matrix der 2p— l
ersten Zeilen der Determinante (17) ist, also den Rang 2p —l hat.
Somit folgt:
Die Z linearen Gleichungen (18) haben die 2p — l linear
unabhängigen Lösungen (19) für /z = 1, 2, . . ., 2p — l, und
keine weiteren Lösungen.
Eine andere wichtige Folgerung aus dem Nichtverschwinden der
Determinante (17) besteht darin, daß sich aus den 2 p Integralen (14)
ein Integral mit willkürlich vorgeschriebenen Perioden linear zusam-