Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron

Umgekehrt soll jetzt bewiesen werden, daß auch jede Q-Funktion
in der Form (30) enthalten ist. Für die algebraischen Q - Funktionen
ist das bereits in § 2 geleistet (Seite 6 anschließend an Formel (6));
die gh (C) sind dann ganze rationale Funktionen. Für eine beliebige
Q-Funktion u führt folgende Überlegung zum Ziel.
Seien uv u2, • • un die n Zweige der Q-Funktion u auf der
t-Fläche; dann betrachten wir das System von n Gleichungen
n — 1
(31) Gh = uv (r = 1, 2, . . ., n)
Ä = o
mit den n unbekannten Funktionen Gh(t'). Die Auflösung ergibt:
n
132) <?»(£)= 2
V ■= 1
wo die die in § 2 eingeführten Funktionen sind. Beschreibt man
jetzt in der einfachen £-Ebene einen geschlossenen Weg, so werden
sich die Glieder der Summe (32) in gewisser Weise permutieren; die
Summe selbst bleibt also unverändert, und folglich ist GG(t) in der
einfachen £-Ebene eindeutig. Hätte 6Q(t) im Endlichen einen Pol,
so hätte auch [CQ(tMC eine (polare oder logarithmische) Singularität,
während doch auf der rechten Seite von (32) lauter Glieder stehen,
deren Integrale im Endlichen endlich bleiben (vgl. den Beginn des
§ 3). Daher ist CQ(t) im Endlichen überall regulär und folglich eine
ganze Funktion. Aus (31) folgt dann, wenn auf die Unterscheidung
der n Zweige verzichtet wird:
n — 1
Ä = 0
Damit ist aber die Darstellbarkeit der Funktion u in der Form (30)
nachgewiesen, und somit der folgende Satz sichergestellt:
Satz 1. Jede Funktion der Form (30), wo die g n (£) ganze
(rationale oder transzendente) Funktionen sind, ist eine
Q-Funktion, und umgekehrt ist auch jede Q-Funktion
in dieser Form darstellbar.
§ 5.
Die nirgends verschwindenden Q-Funktionen.
Wenn die Q-Funktion u keine Nullstellen hat, so ist ihre
logarithmische Ableitung
1 du
u