Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf BiEMANNschen Flächen.

15

auf der ganzen 'Q-Fläche eindeutig und kann im Endlichen, d. h.
außer in q, nur solche Unstetigkeiten haben, die beim Integrieren
wegfallen (sie können also nur in den Verzweigungspunkten der 'Q~
Fläche liegen). Für den Logarithmus selbst, d. h. für das Integral
lc®“=JW3
schließt man daraus in bekannter Weise, daß er in der durch die
2 p Rückkehrschnitte a^, b^ zerschnittenen Fläche, abgesehen vom
Punkt q, eindeutig und regulär ist. Zu beiden Ufern der Rückkehr-
schnitte a^, b^ aber wird er konstante Differenzen haben (Perioden),
die, weil es sich um den Logarithmus ‘einer eindeutigen Funktion
handelt, ganze Vielfache von 2ni sein müssen.
Bezeichnet man daher die Perioden von logu an den Rückkehr-
schnitten
. . ., dp} bv . . bp
der Reihe nach mit
. . ., 2mpni, 2mp . . ., 2m2Vni,
so ist die Funktion
2 p
logu — ^2™^,
v = 1
wo die Tv die in § 3 eingeführten Integrale zweiter Gattung sind,
auch in der unzerschnittenen £-Fläche im Endlichen eindeutig und
regulär, also eine Q-Funktion. Somit ergibt sich
Satz 2. Eine nirgends verschwindende Q-Funktion
hat die Form
2 p
5 2mvTv + v
V = 1
u — e
wo die mv ganze Zahlen sind, und v eine Q-Funktion ist.
Umgekehrt ist auch jede Funktion dieser Form eine
nirgends verschwindende Q-Funktion.
Die Umkehrung ist nämlich ziemlich trivial und bedarf keines
Beweises.
§ 6.
Die Q-Funktionen mit endlich vielen Nullstellen.
Um eine Q-Funktion zu bilden, die auf der ganzen Riemann-
schen Fläche nur eine Nullstelle c, und zwar erster Ordnung hat,