Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron:

betrachten wir das Elementarintegral dritter Gattung Q z (vgl. die
Definition in Formel (21). Denken wir die Fläche durch die p Paare
von Rückkehrschnitten a^, b^, sowie durch einen von c nach q laufen-
den Schnitt c zerschnitten1), so ist in der zerschnittenen Fläche
eindeutig. Am Schnitt c hat Qc die Periode 2ni, während die
Perioden an den Rückkehrschnitten
ctj, . . cip, bv • • ••) bp
der Reihe nach mit
2 (7 j. TT 2,, . • ., 2 OpTCh, 2 O p \ 7t 'l/, . . 2 0 ^p7T
bezeichnet werden mögen (natürlich sind die ov im allgemeinen keine
ganzen Zahlen). Dann bleibt die Funktion
2 p
ßc-2
V = I
beim Überschreiten der Rückkehrschnitte und b^ eindeutig, während
sie am Schnitt c die Periode 2ni hat. In der Ump’ebunp’ des
O ö
Punktes c hat diese Funktion die Gestalt
log s + Reihe nach positiven Potenzen von s,
wo s wieder die gleiche Bedeutung wie in (22) und (25) hat.
Aus all dem erkennt man, daß
2p
ß c - 2 ^ovTv
e v — i
eine Q-Funktion ist, die nur die eine Nullstelle c und zwar erster
Ordnung hat. Die allgemeinste derartige Q-Funktion erhält man
dann offenbar, indem man die soeben gebildete mit einer beliebigen
nirgends verschwindenden Q-Funktion multipliziert.
Um jetzt eine Q-Funktion zu bilden, die endlich viele Nullstellen
Cj, c2, • • •, Ck hat, wobei jede so oft hingeschrieben sein soll, wie ihre
Ordnung angibt, hat man nur nötig, k Q-Funktionen, die nur an je
einer Stelle cx von der ersten Ordnung verschwinden, miteinander zu
multiplizieren. Die allgemeinste derartige Q-Funktion entsteht dann
natürlich wieder durch Multiplikation mit einer nirgends verschwin-
denden Q-Funktion. So ergibt sich
Satz 3. Es gibt Q-Funktionen, die endlich viele will-
kürlich vorgeschriebene Nullstellen Cj, C2, • • •, C* haben,
wobei jede Nullstelle so oft hingeschrieben ist, wie ihre
b Sollte c auf einem der Rückkehrschnitte «2, Q gelegen sein, so wollen
wir diesen erst etwas deformieren, daß c nicht mehr darauf liegt.