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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0017
Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.
17
Ordnung an gibt. Und zwar ist, wenn das Elementar-
integral dritter Gattung DCx an den Rückkehrschnitten
. ., (tp, by, . . ., b p
der Reihe nach die Perioden
2 O j 71 Z, . . ., 2 O p Z, 2<7p-]-i)^7z7, •••? 2 O , x
hat, das Produkt
2p
7t -Qc,“
|1 e v=i
in; =i
eine solche Q-Funktion. Die allgemeinste Q-Funktion
mit denselben Nullstellen entsteht hieraus durch Multi-
plikation mit einer beliebigen nirgends verschwindenden
Q -Funktion.
§ 7.
Q-Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen.
Will man in ähnlicher Weise wie in Satz 3 auch Q-Funktionen
mit unendlich vielen Nullstellen bilden, so scheitert das Verfahren
daran, daß das Produkt im allgemeinen nicht konvergieren wird. Man
kann aber analog wie das bei der WEiERSTRASSschen Produktdar-
stellung für die ganzen transzendenten Funktionen geschieht, den einzelnen
Faktoren des Produktes gewisse konvergenzerzeugende Zusatzfaktoren
beifügen oder, was auf dasselbe hinauskommt, man kann den im
Exponenten von e auftretenden Integralen Qz konvergenzerzeugende
Summanden beifügen. Als solche Summanden empfehlen sich die
Integrale erster und zweiter Gattung, durch welche 12 c in <U0) und
allgemeiner übergeht (§ 3, III). Es ist ja klar, daß bei den
Überlegungen des § 6, sofern C(c) = /lO ist, das Integral ganz
dieselben Dienste wie das Integral 12 c geleistet hätte. Um nun die
Konvergenz des zu bildenden Produktes beweisen zu können, muß
zunächst das Integral in gewisser Weise abgeschätzt werden.
Auf der RiEMANNschen £-Fläche grenzen wir eine Umgebung U
des Punktes q ab. Diese Umgebung U wird, weil in q die n Blätter
Zusammenhängen, einfach eine n- blättrige Windungsfläche sein, und
zwar wollen wir das Äußere eines großen Kreises K vom Radius R
wählen, der sich erst nach n Umläufen schließt und den Punkt £ = 0
zum Mittelpunkt hat. Der Radius R darf beliebig groß sein; jedenfalls
wollen wir ihn so groß denken, daß Rj>U un^ daß die 2 p Rück-
kehrschnitte ganz im Innern des Kreises K liegen, also mit U
keinen Punkt gemein haben.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie, math.-natnrw. Kl. 2. Abh. 1922 2
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Ordnung an gibt. Und zwar ist, wenn das Elementar-
integral dritter Gattung DCx an den Rückkehrschnitten
. ., (tp, by, . . ., b p
der Reihe nach die Perioden
2 O j 71 Z, . . ., 2 O p Z, 2<7p-]-i)^7z7, •••? 2 O , x
hat, das Produkt
2p
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|1 e v=i
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eine solche Q-Funktion. Die allgemeinste Q-Funktion
mit denselben Nullstellen entsteht hieraus durch Multi-
plikation mit einer beliebigen nirgends verschwindenden
Q -Funktion.
§ 7.
Q-Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen.
Will man in ähnlicher Weise wie in Satz 3 auch Q-Funktionen
mit unendlich vielen Nullstellen bilden, so scheitert das Verfahren
daran, daß das Produkt im allgemeinen nicht konvergieren wird. Man
kann aber analog wie das bei der WEiERSTRASSschen Produktdar-
stellung für die ganzen transzendenten Funktionen geschieht, den einzelnen
Faktoren des Produktes gewisse konvergenzerzeugende Zusatzfaktoren
beifügen oder, was auf dasselbe hinauskommt, man kann den im
Exponenten von e auftretenden Integralen Qz konvergenzerzeugende
Summanden beifügen. Als solche Summanden empfehlen sich die
Integrale erster und zweiter Gattung, durch welche 12 c in <U0) und
allgemeiner übergeht (§ 3, III). Es ist ja klar, daß bei den
Überlegungen des § 6, sofern C(c) = /lO ist, das Integral ganz
dieselben Dienste wie das Integral 12 c geleistet hätte. Um nun die
Konvergenz des zu bildenden Produktes beweisen zu können, muß
zunächst das Integral in gewisser Weise abgeschätzt werden.
Auf der RiEMANNschen £-Fläche grenzen wir eine Umgebung U
des Punktes q ab. Diese Umgebung U wird, weil in q die n Blätter
Zusammenhängen, einfach eine n- blättrige Windungsfläche sein, und
zwar wollen wir das Äußere eines großen Kreises K vom Radius R
wählen, der sich erst nach n Umläufen schließt und den Punkt £ = 0
zum Mittelpunkt hat. Der Radius R darf beliebig groß sein; jedenfalls
wollen wir ihn so groß denken, daß Rj>U un^ daß die 2 p Rück-
kehrschnitte ganz im Innern des Kreises K liegen, also mit U
keinen Punkt gemein haben.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie, math.-natnrw. Kl. 2. Abh. 1922 2