Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0.Perron:

co p + k
2<7 2^= 22 P(?i)(g)+2<A2 (2=1, 2, ..., p),
X = 1 z V = 1
co p +k
2h,^i= 2 v’*»’ (c„) +2 U=l, 2, .... p).
X = 1 A v=i
Aus (54) ergibt sich, wenn x^, willkürliche Größen sind:

54)

2 ^}Xx~ll?y?)== 2 2 CXA w
Ä — 1 ’ L " " X = 1 2 = 1

P+k P
2 Tv 2 (^rA xX ~ BvX y£)-
r = i 2 = 1

Hier kann man nach den Erörterungen auf Seite 10 die x^, y%
auf genau p — k linear unabhängige Arten so wählen, daß die letzte
Summe rechts für r—1, 2, . . ., p-\-k verschwindet, so daß alle tv'
herausfallen. Und zwar sind

xX ^uA’ VX — -^/zA
die Werte, die das leisten. Somit ist

Cu = l, 2, . . ., p-k)

2^^ 2 C^^-^A^a)
2 = i
Zwischen den Nullstellen cx einer Q-Funktion, deren Ordnung
kleiner als qk +1 ist, bestehen also notwendig diese p—k unab-
hängigen Bedingungsgleichungen. Diese sind aber zusammen mit der
aus Satz 5 fließenden Konvergenzbedingung auch hinreichend für die
Existenz einer solchen Q-Funktion; und zwar dürfen dabei die g^,
beliebige ganze Zahlen sein. Denn wenn sie erfüllt sind, so
sind unter den 2 p Gleichungen (54) nur p-\-k unabhängige, und man
kann die + Zahlen
ff f
771; x 2 ’ • • •> T p + k
so bestimmen, daß die 2 p Gleichungen (54) bestehen. Die mit den
so berechneten rv' gebildete Funktion (53) ist dann mindestens, wenn
darin v — 0 gewählt wird, eine Q-Funktion der verlangten Art. So-
mit ergibt sich
Satz 6. Sei o0 = 0, und für k=\, 2, . . ., p die ki&
fehlende Ordnungszahl (§ 2). Wenn dann die Ordnung
einer Q-Funktion kleiner als ß*+l sein soll, so sind
ihre Nullstellen can die Konvergenz der Reihe