Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.

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III. cp^+1\f) existiert (reellwertig, eindeutig) mit den
unteren und oberen endlichen Grenzen g und G in Jy,
IV. für /=0 ist cp (O) = 9?/(O) = 99//(O) =.9?^“"(0) = 0;
<pW(0)/0 bei endlichem /z>0;
V. für J1 erfüllt auch /(^) die Voraussetzungen I —IV,
wobei statt pc eine Zahl v auftritt.
Aus I—IV folgt für
(1) = +
dabei ist
Entsprechend gilt
(2) 2/ = z(0=^r(0)+r/+1Z1^),
wobei in Jx auch /x(0 beschränkt ist.
Durch Wahl der geometrischen Tangente in P als X-Achse J1) läßt
sich immer machen, und zwar, da das Kurvenstück nicht gerad¬
linig ist, bei endlichem v. weiterhin kann durch entsprechende Orien-
tierung der Koordinatenachsen cp^ (0) > 0, (0) )> 0 erreicht werden.
Beides soll im folgenden vorausgesetzt werden.
Für cp(f) sei nun eine über II und III hinausgehende Annahme
erfüllt, die für cp (t') und /(£) gleich viele Ableitungen fordert:
VI. In existieren die endlichen Derivierten cp'(t),
cp" (if) . . . die letzte ist beschränkt.
Die Funktionen cp(t}, cp'(f) . . . cp^ (t), %(£), %' (t) . . . sind
als stetige Funktionen in Jj beschränkt.
2. Reguläre Punkte. Ist /z=l, dann heißt Po ein regulärer
Punkt von (C) und zwar bei v = 2 mit endlicher Krümmung, bei v = 3
ein einfacher Wendepunkt (Inflexionspunkt), bei höherem geradem v
ein Flachpunkt (Undulationspunkt), bei höherem ungeradem v ein
höherer Wendepunkt.12) Die Krümmung - in Po ergibt sich aus

y
n) D.h. das Koordinatensystem wird so gelegt, das lim — ==Oist. Vgl.Nr.21.
t—>±o x
» 12) In der oben erwähnten v. Staudt sehen Auffassung sind die Fälle mit
ungeradem v, zu denen auch der gewöhnliche Wendepunkt gehört, singulär.
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