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https://doi.org/10.11588/diglit.43566#0004
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Heinrich Liebmann:
G. Fubini, Sulla teoria delle ipersfere e dei gruppi conformi in una
metrica qualunque. Lomb. Ist. Rend. (2), 38 (1905), 178—192.
P. Calapso, Sug! invarianti del gruppo delle trasformazioni
conforme dello spazio. Palermo Rend. 22 (1906), 197—213.
R. Rothe, Über die Inversion einer Fläche und die konforme
Abbildung zweier Flächen aufeinander mit Erhaltung der Krümmungs-
linien. Math. Ann. 71 (1912), 57-77.
A. Voss, Zur Theorie der reziproken Radien. München, Sitzungs-
berichte 1920, 229—259.
§ 1. Die Lie’sche Cyklide.
1. Gegeben sei eine Kugelschar; die Koordinaten a, b, c der
Achse, das heißt des Ortes der Mittelpunkte und der Radius r seien
analytische Funktionen eines Parameters t. An einer regulären Stelle,
wo die Achse keine Singularität besitzt und der Radius r0 von Null
verschieden ist, kann also die Kugelschar so dargestellt werden:
(1) ;r2 + ^2 + £2 —r02 —2/(z —#0)—£2(y—«/0)+. . =0,
wobei die Glieder von der dritten Ordnung: an fortgelassen sind.
Differenziert man diese Gleichung erst einmal, dann nochmals nach t
und setzt t = 0, so kommt
(2) x = x^ y = y0, !Z^o2 —’^o2 —2/o2=:±^o
und man kann in leichtverständlicher Ausdrucksweise sagen: In den
beiden durch (2) gegebenen Punkten haben die Kugel i= 0 und zwei
unendlich benachbarte die Potenz Null, sie schneiden einander daselbst.
Wir führen daun eine Inversion aus mit dem Mittelpunkt y^
.n0 und dem Radius r0, d. h. wir transformieren (1) vermöge
s'; v': Ü ; >] : C,
(ü2+^2+n (FW+c2>r04,
wobei zu setzen ist
5 — x q, y — y y0, £ = s — ,s0,
£ — x 0, — y y Qi ~3 3 o-
Dabei ist für die Kugelgleichung
K(x, y, ,s) = a?2+y 2 + ^2— 2arr— 2by — 2— 0
zunächst zu schreiben
£2+ ??2+C2-2^(a—a;0) —2?7(5-«/0)-2C(c—^o)+^(^O> ?/o> = O
und nach Ausführung der Transformation kommt
r02-2(F-a?0) (a-x0) - 2 (y' - ,y0) (b —y0)-2(F-0O) (c-.j’o)
+ «V - a.'„)2 +(?/-»„)2 + (,' - «„)2) = 0.
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Heinrich Liebmann:
G. Fubini, Sulla teoria delle ipersfere e dei gruppi conformi in una
metrica qualunque. Lomb. Ist. Rend. (2), 38 (1905), 178—192.
P. Calapso, Sug! invarianti del gruppo delle trasformazioni
conforme dello spazio. Palermo Rend. 22 (1906), 197—213.
R. Rothe, Über die Inversion einer Fläche und die konforme
Abbildung zweier Flächen aufeinander mit Erhaltung der Krümmungs-
linien. Math. Ann. 71 (1912), 57-77.
A. Voss, Zur Theorie der reziproken Radien. München, Sitzungs-
berichte 1920, 229—259.
§ 1. Die Lie’sche Cyklide.
1. Gegeben sei eine Kugelschar; die Koordinaten a, b, c der
Achse, das heißt des Ortes der Mittelpunkte und der Radius r seien
analytische Funktionen eines Parameters t. An einer regulären Stelle,
wo die Achse keine Singularität besitzt und der Radius r0 von Null
verschieden ist, kann also die Kugelschar so dargestellt werden:
(1) ;r2 + ^2 + £2 —r02 —2/(z —#0)—£2(y—«/0)+. . =0,
wobei die Glieder von der dritten Ordnung: an fortgelassen sind.
Differenziert man diese Gleichung erst einmal, dann nochmals nach t
und setzt t = 0, so kommt
(2) x = x^ y = y0, !Z^o2 —’^o2 —2/o2=:±^o
und man kann in leichtverständlicher Ausdrucksweise sagen: In den
beiden durch (2) gegebenen Punkten haben die Kugel i= 0 und zwei
unendlich benachbarte die Potenz Null, sie schneiden einander daselbst.
Wir führen daun eine Inversion aus mit dem Mittelpunkt y^
.n0 und dem Radius r0, d. h. wir transformieren (1) vermöge
s'; v': Ü ; >] : C,
(ü2+^2+n (FW+c2>r04,
wobei zu setzen ist
5 — x q, y — y y0, £ = s — ,s0,
£ — x 0, — y y Qi ~3 3 o-
Dabei ist für die Kugelgleichung
K(x, y, ,s) = a?2+y 2 + ^2— 2arr— 2by — 2— 0
zunächst zu schreiben
£2+ ??2+C2-2^(a—a;0) —2?7(5-«/0)-2C(c—^o)+^(^O> ?/o> = O
und nach Ausführung der Transformation kommt
r02-2(F-a?0) (a-x0) - 2 (y' - ,y0) (b —y0)-2(F-0O) (c-.j’o)
+ «V - a.'„)2 +(?/-»„)2 + (,' - «„)2) = 0.
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