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https://doi.org/10.11588/diglit.43566#0011
Die LiEsche Cyklide und die Inversionskrümmung.
11
die die Ebene .2 = 0 invariant lassen, kann auch in bekannter Weise
als nichteuklidische Bewegungsgruppe gedeutet werden.
2. Diese Gruppe ist dann zu erweitern, d. h. es sind die Zuwachs-
elemente von
dx dy d2x d2y
P'~dz’ ^'^dz’ Pi=dT2' dz2
zu berechnen. Die Gruppe ist sechsgliedrig, man erhält daher (min-
destens) eine aus den 7 Elementen x y 3 qx p% q% aufgebaute
Invariante. Es gibt in der Tat nur eine, nämlich die (nichteuklidische)
Kurvenkrümmung.
Bezeichnet man die Zuwachselemente von x, y und 3 mit X, Y,
Z und die vollständige Differentiation nach 3, also
so berechnen sich die Zuwachselemente der erweiterten Gruppe
aus
„ dX
dZ
Qi~
jy
dZ
P1dz ’
dz
-Qi
dz
n dPr
dZ
_dQr
d Z
dz
dz
Sie sind Null für die erste und zweite Gruppe,
— JrPi> ~ ö,2> +P2 für die dritte Gruppe,
0) 0, — p.2, —q-z für die vierte Gruppe.
Bei der fünften Gruppe kommt
P1=-^(l+2?12)
Qi=
.P2=~38pxpt-xp2-y q^-l—p^-q^,
Q2=—z$p1q2+p2qy)+p2y-q2x,
und bei der sechsten
Pi — (11 2TY) >
Qi= -^(i+?i2)—
^2 = —^(JPl?2 + 2/>2?l) + ^2^-^2’/)
Q2=-^sqxq2-xp2—yq2-l-p^ — q^.
Man tut gut, auch die Berechnung für die sechste Gruppe wirk-
lich durchzuführen, die zutage tretende Verwandtschaft mit der
fünften — einfach Buchstabenvertauschung — ist dann zugleich Probe.
Sodann ist das vollständige System zu integrieren, gebildet
den sechs Gleichungen
aus
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die die Ebene .2 = 0 invariant lassen, kann auch in bekannter Weise
als nichteuklidische Bewegungsgruppe gedeutet werden.
2. Diese Gruppe ist dann zu erweitern, d. h. es sind die Zuwachs-
elemente von
dx dy d2x d2y
P'~dz’ ^'^dz’ Pi=dT2' dz2
zu berechnen. Die Gruppe ist sechsgliedrig, man erhält daher (min-
destens) eine aus den 7 Elementen x y 3 qx p% q% aufgebaute
Invariante. Es gibt in der Tat nur eine, nämlich die (nichteuklidische)
Kurvenkrümmung.
Bezeichnet man die Zuwachselemente von x, y und 3 mit X, Y,
Z und die vollständige Differentiation nach 3, also
so berechnen sich die Zuwachselemente der erweiterten Gruppe
aus
„ dX
dZ
Qi~
jy
dZ
P1dz ’
dz
-Qi
dz
n dPr
dZ
_dQr
d Z
dz
dz
Sie sind Null für die erste und zweite Gruppe,
— JrPi> ~ ö,2> +P2 für die dritte Gruppe,
0) 0, — p.2, —q-z für die vierte Gruppe.
Bei der fünften Gruppe kommt
P1=-^(l+2?12)
Qi=
.P2=~38pxpt-xp2-y q^-l—p^-q^,
Q2=—z$p1q2+p2qy)+p2y-q2x,
und bei der sechsten
Pi — (11 2TY) >
Qi= -^(i+?i2)—
^2 = —^(JPl?2 + 2/>2?l) + ^2^-^2’/)
Q2=-^sqxq2-xp2—yq2-l-p^ — q^.
Man tut gut, auch die Berechnung für die sechste Gruppe wirk-
lich durchzuführen, die zutage tretende Verwandtschaft mit der
fünften — einfach Buchstabenvertauschung — ist dann zugleich Probe.
Sodann ist das vollständige System zu integrieren, gebildet
den sechs Gleichungen
aus