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https://doi.org/10.11588/diglit.43566#0016
16
Heinrich Liebmann:
und schließlich
(Ü+V^V 3 =
e 2 A 2
CRj^^F2
("e_9
V
Wir haben auch die weitere Rechnung nach diesen Gesichts-
punkten zu gestalten: Es sollen einmal die Differentialquotienten von BL
und B2 nach Möglichkeit ausgeschaltet werden, außerdem aber soll
durch die Beibehaltung von 2 die oben anfgespaltene dritte Codazzi-
sehe Gleichung sozusagen in latentem Zustand eingeführt werden.
Man findet
und
schließlich
(10)
auf diesem Weg
•2 _ e ~37?127?22 / e2
~ (K --k2)2 W
Diese Größe ist also die zum Flächenpunkt gehörige Inversions-
invariante der Kanalfläche, die von den Krümmungskugeln K2 ge-
bildet wird, welche den Punkten der Krümmungslinie v = v0 ange-
hören, aber zu den Krümmungslinien u=c gehören, also die
Fläche in einer Kurve mit Spitze schneiden, wobei die Spitzentangente
auf v — v0 senkrecht steht.
Die entsprechende Invariante B2 ist
(11)
ee
vv
Addiert man die beiden Werte, so ergibt die dritte CoDAZZische
Formel in der Tat
+ Z, = j _ 2 B1 Bz) = 1
Die Größe
(12) J1Z2 = Z1(1-Z1) = Z2(1-Z2)
kann man füglich die Inversionskrümmung der Fläche nennen.
Diese Form der Invariante hat den Vorzug, unabhängig zu sein von
der Wahl der Krümmungslinien (u oder v) bei der Berechnung.
2. Wir lassen noch einige Beispiele folgen. Zuerst soll die I11-
versionskrümmung Jr bei Torsen berechnet werden, die zu ihren nicht
geradlinigen Krümmungslinien gehört.
Die Bogenlänge der Rückkehrkante (Krümmungsradius q) sei mit
u, die Strecke der Tangente vom Berührungspunkt bis zum Flächen-
punkt mit v — u bezeichnet, dann ist
Heinrich Liebmann:
und schließlich
(Ü+V^V 3 =
e 2 A 2
CRj^^F2
("e_9
V
Wir haben auch die weitere Rechnung nach diesen Gesichts-
punkten zu gestalten: Es sollen einmal die Differentialquotienten von BL
und B2 nach Möglichkeit ausgeschaltet werden, außerdem aber soll
durch die Beibehaltung von 2 die oben anfgespaltene dritte Codazzi-
sehe Gleichung sozusagen in latentem Zustand eingeführt werden.
Man findet
und
schließlich
(10)
auf diesem Weg
•2 _ e ~37?127?22 / e2
~ (K --k2)2 W
Diese Größe ist also die zum Flächenpunkt gehörige Inversions-
invariante der Kanalfläche, die von den Krümmungskugeln K2 ge-
bildet wird, welche den Punkten der Krümmungslinie v = v0 ange-
hören, aber zu den Krümmungslinien u=c gehören, also die
Fläche in einer Kurve mit Spitze schneiden, wobei die Spitzentangente
auf v — v0 senkrecht steht.
Die entsprechende Invariante B2 ist
(11)
ee
vv
Addiert man die beiden Werte, so ergibt die dritte CoDAZZische
Formel in der Tat
+ Z, = j _ 2 B1 Bz) = 1
Die Größe
(12) J1Z2 = Z1(1-Z1) = Z2(1-Z2)
kann man füglich die Inversionskrümmung der Fläche nennen.
Diese Form der Invariante hat den Vorzug, unabhängig zu sein von
der Wahl der Krümmungslinien (u oder v) bei der Berechnung.
2. Wir lassen noch einige Beispiele folgen. Zuerst soll die I11-
versionskrümmung Jr bei Torsen berechnet werden, die zu ihren nicht
geradlinigen Krümmungslinien gehört.
Die Bogenlänge der Rückkehrkante (Krümmungsradius q) sei mit
u, die Strecke der Tangente vom Berührungspunkt bis zum Flächen-
punkt mit v — u bezeichnet, dann ist