DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0007
Über Gleichungen ohne Affekt.
7
Sodann wähle man noch zwei ganze Zahlen ltn— 1 und kn, die erste
ganz beliebig, die letzte relativ prim zu prp2 . .pn — i- Bildet man
jetzt die Gleichung
# (p~}~Pi 4~.P1 P2 ^2) • • • ~\~P1 P2 • • • Pn — 1 kn — 1)
P1P 2 • • ■ Pn — 1 kn = 0,
so hat diese die oben verlangten vier Eigenschaften und ist also ohne
Affekt. In der Tat, wenn man diese Gleichung mit der Gleichung
xn + <zx xn ~1 + . . . + an j x + an = 0
identifiziert, so sind a1} a2, . . an—i die symmetrischen Grund-
funktionen von
Pl ^1; P1P2 ^2; • ■ •? P1P2 • • ’ Pn — 1 —1»
woraus sofort die Eigenschaften (I) und (II) folgen. Ferner ist
n ~ _P 1 .P 2 • • • P n — 1 ;
so daß auch die Eigenschaft (III) vorhanden ist. Endlich ist für
2 = 2, 3, . . ., n - 2
^^ + «1 . -j-«z
= (^+Pi ^i) (x^-p1p2k2) . . . («+2>i^2 • • • Pz7G) (mod Pä+i)>
und die rechtsstehenden Linearfaktoren sind nach Voraussetzung in-
kongruent, womit auch die Eigenschaft (IV) gesichert ist.
§ 4-
Hilfssätze.
Dem Beweis unserer Behauptung schicken wir drei Hilfssätze
voraus.
Hilfssatz 1. Wenn die Koeffizienten der Gleichung
• • • +^ = 0
rationale (nicht notwendig ganze) durch die Primzahl p teilbare Zahlen
sind, und wenn rz nicht durch p2 teilbar ist, so ist die Gleichung-
irreduzibel.1)
Das ist das bekannte EiSENSTEiNsche Kriterium (vgl. z. B.
H. Weber, Lehrbuch der Algebra I, Seite 605; 2. Aufl. S. 654).
Hilfssatz 2. Ist 2 eine der Zahlen 1, 2, . . ., n — 2, und ist
m ein beliebig hoher Exponent, so hat die Kongruenz
0 In üblicher Weise nennen wir auch eine gebrochene rationale Zahl
teilbar durch die Primzahl p oder- eine Potenz von p, wenn, nachdem man die
Zahl auf kleinsten Nenner gebracht hat, ihr Zähler teilbar ist.
7
Sodann wähle man noch zwei ganze Zahlen ltn— 1 und kn, die erste
ganz beliebig, die letzte relativ prim zu prp2 . .pn — i- Bildet man
jetzt die Gleichung
# (p~}~Pi 4~.P1 P2 ^2) • • • ~\~P1 P2 • • • Pn — 1 kn — 1)
P1P 2 • • ■ Pn — 1 kn = 0,
so hat diese die oben verlangten vier Eigenschaften und ist also ohne
Affekt. In der Tat, wenn man diese Gleichung mit der Gleichung
xn + <zx xn ~1 + . . . + an j x + an = 0
identifiziert, so sind a1} a2, . . an—i die symmetrischen Grund-
funktionen von
Pl ^1; P1P2 ^2; • ■ •? P1P2 • • ’ Pn — 1 —1»
woraus sofort die Eigenschaften (I) und (II) folgen. Ferner ist
n ~ _P 1 .P 2 • • • P n — 1 ;
so daß auch die Eigenschaft (III) vorhanden ist. Endlich ist für
2 = 2, 3, . . ., n - 2
^^ + «1 . -j-«z
= (^+Pi ^i) (x^-p1p2k2) . . . («+2>i^2 • • • Pz7G) (mod Pä+i)>
und die rechtsstehenden Linearfaktoren sind nach Voraussetzung in-
kongruent, womit auch die Eigenschaft (IV) gesichert ist.
§ 4-
Hilfssätze.
Dem Beweis unserer Behauptung schicken wir drei Hilfssätze
voraus.
Hilfssatz 1. Wenn die Koeffizienten der Gleichung
• • • +^ = 0
rationale (nicht notwendig ganze) durch die Primzahl p teilbare Zahlen
sind, und wenn rz nicht durch p2 teilbar ist, so ist die Gleichung-
irreduzibel.1)
Das ist das bekannte EiSENSTEiNsche Kriterium (vgl. z. B.
H. Weber, Lehrbuch der Algebra I, Seite 605; 2. Aufl. S. 654).
Hilfssatz 2. Ist 2 eine der Zahlen 1, 2, . . ., n — 2, und ist
m ein beliebig hoher Exponent, so hat die Kongruenz
0 In üblicher Weise nennen wir auch eine gebrochene rationale Zahl
teilbar durch die Primzahl p oder- eine Potenz von p, wenn, nachdem man die
Zahl auf kleinsten Nenner gebracht hat, ihr Zähler teilbar ist.