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https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0008
0. Perrox:
/’(^) = 0 (mod
mindestens 2 Lösungen, die mod Pi — x inkongruent und relativ prim
zu ^>2 + 1 sind-
Nach den Voraussetzungen (I) bis (IV) ist nämlich
f (x) = (x^Jrax + . . . + aj)xn-l (mod ^2 + 1)
= tx-b^) (x — b2) . . . (x — b;_) xn~l (mod p? + x),
wobei die b1} . . ., bj mod ^2 + 1 inkongruent und relativ prim zu
P2 + 1 sind (letzteres, weil ja nicht durch ^2+1 teilbar ist). Wenn
man also, unter v eine beliebige der Zahlen 1, 2, . . 2 verstehend,
die Zahl x der Kongruenz
(1) x = bv (mod ^2 + 1)
gemäß wählt, so ist jedenfalls f{x) durch #2 + 1 teilbar. Es muß aber
noch gezeigt werden, daß man f (x') sogar durch eine beliebig hohe
Potenz von P2 + 1 teilbar machen kann. Wenn aber f (x) für eine
bestimmte der Kongruenz (1) genügende Zahl x = xx etwa genau
durch p^ t teilbar ist, so setzen wir
a? = ^x + ^+i.
Dann ist
(2) /■(^■) = /‘(^1) + ^P{<+1/’/(^i) (mod 7^+i1).
Nun ist aber xy=bv (mod + also auch
H^i) = f'^v) = - &i) • • • ~ -1) ~bv + 1) ... (bv -b})bn~l
$0 (mod pJ +1).
Man kann daher die ganze Zahl £ so bestimmen, daß
£ f' W + 4^ = 0 (mod P2 +1)
12 +1
ist, und dann wird nach (2) f (x) durch p^ + i teilbar sein. Somit läßt
sich der Exponent von jpji + i beliebig vergrößern, und damit ist Hilfs-
satz 2 bewiesen.
Bevor wir den dritten Hilfssatz formulieren, setzen wir einige Be-
zeichnungen fest. Wenn das Polynom f(x) durch
(3) ^2(^) = (^-2/i)(;r—2/2) • • • ^2)
dividiert wird, so entsteht ein Quotient vom Grad n—2 In x und
ein Rest. Den Quotienten bezeichnen wir mit
f z + i 3^ • • ■’ Vk)’
/’(^) = 0 (mod
mindestens 2 Lösungen, die mod Pi — x inkongruent und relativ prim
zu ^>2 + 1 sind-
Nach den Voraussetzungen (I) bis (IV) ist nämlich
f (x) = (x^Jrax + . . . + aj)xn-l (mod ^2 + 1)
= tx-b^) (x — b2) . . . (x — b;_) xn~l (mod p? + x),
wobei die b1} . . ., bj mod ^2 + 1 inkongruent und relativ prim zu
P2 + 1 sind (letzteres, weil ja nicht durch ^2+1 teilbar ist). Wenn
man also, unter v eine beliebige der Zahlen 1, 2, . . 2 verstehend,
die Zahl x der Kongruenz
(1) x = bv (mod ^2 + 1)
gemäß wählt, so ist jedenfalls f{x) durch #2 + 1 teilbar. Es muß aber
noch gezeigt werden, daß man f (x') sogar durch eine beliebig hohe
Potenz von P2 + 1 teilbar machen kann. Wenn aber f (x) für eine
bestimmte der Kongruenz (1) genügende Zahl x = xx etwa genau
durch p^ t teilbar ist, so setzen wir
a? = ^x + ^+i.
Dann ist
(2) /■(^■) = /‘(^1) + ^P{<+1/’/(^i) (mod 7^+i1).
Nun ist aber xy=bv (mod + also auch
H^i) = f'^v) = - &i) • • • ~ -1) ~bv + 1) ... (bv -b})bn~l
$0 (mod pJ +1).
Man kann daher die ganze Zahl £ so bestimmen, daß
£ f' W + 4^ = 0 (mod P2 +1)
12 +1
ist, und dann wird nach (2) f (x) durch p^ + i teilbar sein. Somit läßt
sich der Exponent von jpji + i beliebig vergrößern, und damit ist Hilfs-
satz 2 bewiesen.
Bevor wir den dritten Hilfssatz formulieren, setzen wir einige Be-
zeichnungen fest. Wenn das Polynom f(x) durch
(3) ^2(^) = (^-2/i)(;r—2/2) • • • ^2)
dividiert wird, so entsteht ein Quotient vom Grad n—2 In x und
ein Rest. Den Quotienten bezeichnen wir mit
f z + i 3^ • • ■’ Vk)’