Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron:

durch eine beliebig hohe vorgeschriebene Potenz von _ x teilbar
sind. Die Formel (5) lehrt, daß dann auch die Zahlen (A) durch
diese beliebig hohe Potenz von + i teilbar sind.
Ferner folgt aus (4), indem man mit dem Nenner g% (&) multi-
pliziert, daß das Polynom f (x) nach der beliebig hohen Potenz von
+ i dem Produkt g^ (x) • _|_ x (x, yv . . y^ kongruent ist. Setzt
man also

(6) gx O) = xl + d^xL-^ . . . + dA,
so gilt insbesondere modj^+i die Kongruenz
/y1'/ J I yy /y» — 1 L_ _! zy
<Xz | Cv ■£ «Xz | • • • |
= (x^-\-dx a;A-i_p . . . + ^) (£n-1 + Ci icw_2_1 + . . . +cn_;J,
und folglich ist

— dy en _ 2
G>n — i = c _ 2 — 1 “h — 1 — A
aA + i —^A ci + ^A-i C2U~ • • •

(mod p\ + 1).

Nun ist aber, wie ein Vergleich von (3) mit (6) lehrt, d% — + y1 y2 • • • yp
und daher d^ nicht durch P2 + 1 teilbar. Nach der ersten der Kon-
gruenzen (7) ist also cn-X durch P2 + 1 teilbar, aber nicht durch
weil ja an nicht durch 7?2 + i teilbar ist. Aus den späteren der Kon-
gruenzen (7) ergibt sich dann der Reihe nach, daß auch
c«_2-2> • • • } c2> ci durch 2V-J-i teilbar sind. Damit ist Hilfssatz 3
vollständig bewiesen.

§ 5-
Beweis des Hauptsatzes.
Der Beweis unserer in § 3 formulierten Behauptung gestaltet
sich nun folgendermaßen. Aus (4) folgt, indem man für ylf . . y%
speziell die Wurzeln o1} . . ., g^ von f(x) einsetzt:


Nach § 2 ist also nur nötig zu zeigen, daß die Polynome

(8)

/(^)
fz(x, Qi)

fn — i(^j Qli ' ’ Qn—2)

im Körper der rationalen Zahlen,
» » $ (.Qi) >

im Körper ß (ßx, • . •, Qn-2)

irreduzibel sind.