DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0012
12
0. Perron:
stens vom Grad n — 2 — 1 sind. Diese Identität besagt aber, daß das
Polynom von x
f Az + i(^ Vv> • • •? 2/Ü — f (2/i) ’ Zi 2/i? • • •? 2/;.)
( A2 (2/1? 2/2) ’ Z2 2/i? • • •? Ui) — • • -~fz (2/1? • • •? 2/;.)' Zz 2/i? • • •? ?/;.)?
wenn man darin für y1} . . y} beliebige rationale Zahlen einsetzt,
im natürlichen Ratiohalitätsbereich stets in zwei Faktoren ip-a> zer-
fällt, die beide x enthalten. Wenn man also ein Zahlensystem yr,
. . yj nachweisen kann, für welches das Polynom (11) tatsächlich
irreduzibel wird, so liegt ein Widerspruch vor; die oben gemachte
Hypothese wird dann als falsch erkannt, und somit unsere Behauptung
in vollem Umfang bewiesen sein.
Ein solches Zahlensystem yx, . . yj ist aber das in Hilfssatz 3
augegebene. Denn selbst, wenn die rationalen Koeffizienten der Funk-
tionen / die Primzahl ^2 + 1 lra Nenner enthalten sollten, kann man
nach Hilfssatz 3 die Zahlen yt, . . ?/; doch so wählen, daß in den
sämtlichen Subtrahenden von (11) diese Nennerfaktoren sich wegheben,
und die Subtrahenden noch durch eine beliebig hohe Potenz von pj ,
teilbar werden, also gewiß durch _Pz+i- Dann ist aber das Polynom
(11) mod + 1 kongruent zu
A2 + 1O? 2/i? • • •? 2/2)=^w-^ + Ci^l"2-1+• • •-pCn-;.
Wenn man also vom Koeffizienten der höchsten Potenz von x, der
ja gleich 1 ist, absieht, sind nach Hilfssatz 3 alle andern Koeffizienten
durch TU +1 teilbar, und speziell das von x freie Glied nicht durch
TÜ + i* Nach Hilfssatz 1 erweist sich dann das Polynom (11) als
irreduzibel, und damit ist der gewünschte Widerspruch festgestellt.
§ 6-
Ausdehnung auf beliebige algebraische Zahlkörper.
Legt man statt des natürlichen Rationalitätsbereiches einen be-
liebigen algebraischen Zahlkörper zugrunde und wählt die Primzahlen
• • •? Pn— 1 so, daß sie nicht in der Diskriminante dieses Kör-
pers enthalten sind, so sind sie bekanntlich nicht durch das Quadrat
eines Primideals teilbar.1) Ist etwa hz + i ein Primidealfaktor von
P} so lassen sich wörtlich dieselben Überlegungen wie oben durch-
i) Man sehe etwa Satz 31 des HiLBERTschen Berichtes ..Die Theorie der
algebraischen Zahlkörper“. Jahresbericht der deutschen Mathematikerver-
einigung 4.
0. Perron:
stens vom Grad n — 2 — 1 sind. Diese Identität besagt aber, daß das
Polynom von x
f Az + i(^ Vv> • • •? 2/Ü — f (2/i) ’ Zi 2/i? • • •? 2/;.)
( A2 (2/1? 2/2) ’ Z2 2/i? • • •? Ui) — • • -~fz (2/1? • • •? 2/;.)' Zz 2/i? • • •? ?/;.)?
wenn man darin für y1} . . y} beliebige rationale Zahlen einsetzt,
im natürlichen Ratiohalitätsbereich stets in zwei Faktoren ip-a> zer-
fällt, die beide x enthalten. Wenn man also ein Zahlensystem yr,
. . yj nachweisen kann, für welches das Polynom (11) tatsächlich
irreduzibel wird, so liegt ein Widerspruch vor; die oben gemachte
Hypothese wird dann als falsch erkannt, und somit unsere Behauptung
in vollem Umfang bewiesen sein.
Ein solches Zahlensystem yx, . . yj ist aber das in Hilfssatz 3
augegebene. Denn selbst, wenn die rationalen Koeffizienten der Funk-
tionen / die Primzahl ^2 + 1 lra Nenner enthalten sollten, kann man
nach Hilfssatz 3 die Zahlen yt, . . ?/; doch so wählen, daß in den
sämtlichen Subtrahenden von (11) diese Nennerfaktoren sich wegheben,
und die Subtrahenden noch durch eine beliebig hohe Potenz von pj ,
teilbar werden, also gewiß durch _Pz+i- Dann ist aber das Polynom
(11) mod + 1 kongruent zu
A2 + 1O? 2/i? • • •? 2/2)=^w-^ + Ci^l"2-1+• • •-pCn-;.
Wenn man also vom Koeffizienten der höchsten Potenz von x, der
ja gleich 1 ist, absieht, sind nach Hilfssatz 3 alle andern Koeffizienten
durch TU +1 teilbar, und speziell das von x freie Glied nicht durch
TÜ + i* Nach Hilfssatz 1 erweist sich dann das Polynom (11) als
irreduzibel, und damit ist der gewünschte Widerspruch festgestellt.
§ 6-
Ausdehnung auf beliebige algebraische Zahlkörper.
Legt man statt des natürlichen Rationalitätsbereiches einen be-
liebigen algebraischen Zahlkörper zugrunde und wählt die Primzahlen
• • •? Pn— 1 so, daß sie nicht in der Diskriminante dieses Kör-
pers enthalten sind, so sind sie bekanntlich nicht durch das Quadrat
eines Primideals teilbar.1) Ist etwa hz + i ein Primidealfaktor von
P} so lassen sich wörtlich dieselben Überlegungen wie oben durch-
i) Man sehe etwa Satz 31 des HiLBERTschen Berichtes ..Die Theorie der
algebraischen Zahlkörper“. Jahresbericht der deutschen Mathematikerver-
einigung 4.