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https://doi.org/10.11588/diglit.43854#0003
Die Aufschließung von Differentialinvarianten.
Die Bestimmung der Differentialinvarianten endlicher kontinuier-
licher Transformätionsgruppen, ein von Sophus Lie nicht völlig durch-
gearbeitetes Teilgebiet seines großzügigen Programmes, ist durch die.
Anregungen von Herrn G. Pick x) zu einer neuen Differentialgeometrie
ausgestaltet worden, und später hat Herr G. Kowalewski daraus eine
ganz neue Disziplin geschaffen, die sich in lebhaftester Entwicklung
befindet.* 2)
Hierzu sollen die folgenden Darlegungen einen Beitrag liefern.
Vor allem soll zunächst gezeigt werden, daß ein grundlegender Satz
Kowalewskis, der in sehr allgemeinen Fällen die „Aufschließung“ der
Differentialinvarianten ermöglicht — so darf seine Leistung mit einem
der Chemie entnommenen Gleichnis genannt werden — unmittelbar aus
den Hauptlehrsätzen der LiE;schen Gruppentheorie erfaßt werden kann.
Jm Anschluß daran wird sich herausstellen, daß die hier zu ent-
wickelnde Methode, mit deren Hilfe die einfachste Schreibung und ein-
fachste Bestimmung der in § 1 näher gekennzeichneten Differential-
invarianten ebener Gruppen geleistet wird, auch die Übertragung auf
Gruppen in Räumen höherer Dimension bei geeigneter Auswahl zuläßt.
§ 1. Beweis des Kowalewskfschen Fundamentalsatzes.
1. Der Fundamentalsatz für die Ebene.
Herr Kowalewski hat durch Weiterbildung der Gedankengänge
der „natürlichen Geometrie“ den wichtigen Satz bewiesen3):
Der niedrigsten Differentialinvariante einer r-glied-
rigen Gruppe von kontinuierlichen Punkttransformationen
der Ebene (r^>2) kann die Normalform gegeben werden
b G. Pick, Natürliche Geometrie ebener Transformationsgruppen. Wiener
Berichte, math.-naturw. Klasse 115, Abt. II A. (1906). S. 139 —159.
2) G. Kowalewski, Grundlegende Sätze der natürlichen Geometrie ebener
Transformationsgruppen. Sachs. Akad. der Wissenschaften, math.-naturw. Klasse
73 (1921). S. 311—326. — Hieran schließt sich eine Reihe weiterer Arbeiten. —
Herr Engel weist Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen V, Leipzig 1924, S. 676
auf die Fortschritte hin, die über die Ergebnisse von Lie im Gebiet der Diffe-
rentialinvarianten hinaus durch Pick und Kowalewski erreicht worden sind.
3) A.a.O. S. 315.
1*
Die Bestimmung der Differentialinvarianten endlicher kontinuier-
licher Transformätionsgruppen, ein von Sophus Lie nicht völlig durch-
gearbeitetes Teilgebiet seines großzügigen Programmes, ist durch die.
Anregungen von Herrn G. Pick x) zu einer neuen Differentialgeometrie
ausgestaltet worden, und später hat Herr G. Kowalewski daraus eine
ganz neue Disziplin geschaffen, die sich in lebhaftester Entwicklung
befindet.* 2)
Hierzu sollen die folgenden Darlegungen einen Beitrag liefern.
Vor allem soll zunächst gezeigt werden, daß ein grundlegender Satz
Kowalewskis, der in sehr allgemeinen Fällen die „Aufschließung“ der
Differentialinvarianten ermöglicht — so darf seine Leistung mit einem
der Chemie entnommenen Gleichnis genannt werden — unmittelbar aus
den Hauptlehrsätzen der LiE;schen Gruppentheorie erfaßt werden kann.
Jm Anschluß daran wird sich herausstellen, daß die hier zu ent-
wickelnde Methode, mit deren Hilfe die einfachste Schreibung und ein-
fachste Bestimmung der in § 1 näher gekennzeichneten Differential-
invarianten ebener Gruppen geleistet wird, auch die Übertragung auf
Gruppen in Räumen höherer Dimension bei geeigneter Auswahl zuläßt.
§ 1. Beweis des Kowalewskfschen Fundamentalsatzes.
1. Der Fundamentalsatz für die Ebene.
Herr Kowalewski hat durch Weiterbildung der Gedankengänge
der „natürlichen Geometrie“ den wichtigen Satz bewiesen3):
Der niedrigsten Differentialinvariante einer r-glied-
rigen Gruppe von kontinuierlichen Punkttransformationen
der Ebene (r^>2) kann die Normalform gegeben werden
b G. Pick, Natürliche Geometrie ebener Transformationsgruppen. Wiener
Berichte, math.-naturw. Klasse 115, Abt. II A. (1906). S. 139 —159.
2) G. Kowalewski, Grundlegende Sätze der natürlichen Geometrie ebener
Transformationsgruppen. Sachs. Akad. der Wissenschaften, math.-naturw. Klasse
73 (1921). S. 311—326. — Hieran schließt sich eine Reihe weiterer Arbeiten. —
Herr Engel weist Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen V, Leipzig 1924, S. 676
auf die Fortschritte hin, die über die Ergebnisse von Lie im Gebiet der Diffe-
rentialinvarianten hinaus durch Pick und Kowalewski erreicht worden sind.
3) A.a.O. S. 315.
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