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https://doi.org/10.11588/diglit.43854#0012
12
Heinrich Liebmann:
Es liegt also ein vollständiges System von 2r-)-l unabhängigen
Gleichungen vor mit 2 unabhängigen Lösungen
fz(rA\A,B) = c
f ( (r-D a rL
/2 (x, y,z,-- z , Ä, B) = c2.
Hieraus können dann A und B bestimmt werden.
Ehe wir die Berechnung von C durchführen, die ja erst die
Existenz der Invarianten in „Normalform“ sicherstellt, wollen wir uns
vorab überlegen, wie die Bestimmung von A und B sich gestaltet.
Da die Invariante stets mit einem konstanten Faktor multipliziert
werden kann, liegt es nahe, anzusetzen
B = 1A
und zunächst 2 zu bestimmen.
Dies gibt nach (4) und (5) die Forderungen:
U-'11 74) + Aßt i + B = 0,
A U™ (l) + tU^> (A) + A ß2i + B r2i = 0.
Man kann hieraus leicht B und A eliminieren, indem man die
mit — 1 multiplizierte erste Gleichung zur zweiten addiert und dann
durch A dividiert. Dies führt auf
r’w+Vty.-w-'V'1
Dieses System ist einer einzigen totalen RiccATi’schen Gleichung
aequivalent. Ist sie gelöst, dann bleibt zur Bestimmung von A
woraus A durch Quadratur gefunden wird, —
Endlich ist noch C anzugeben. Die Gleichungen (6), in denen
nunmehr A und B als bekannte Funktionen auftreten, können wieder
homogenisiert werden, und geben
Klammerbildung liefert
+ 4 ' T’ (/’«.) - L'"1’ (M) - h UA1} eD - r« PM) X}
oder mit Rücksicht auf (2), (3), (4) und (5)
(W'JÜ) = AB’ (/) - (^ + 5z3s)|f) = (/)•
Heinrich Liebmann:
Es liegt also ein vollständiges System von 2r-)-l unabhängigen
Gleichungen vor mit 2 unabhängigen Lösungen
fz(rA\A,B) = c
f ( (r-D a rL
/2 (x, y,z,-- z , Ä, B) = c2.
Hieraus können dann A und B bestimmt werden.
Ehe wir die Berechnung von C durchführen, die ja erst die
Existenz der Invarianten in „Normalform“ sicherstellt, wollen wir uns
vorab überlegen, wie die Bestimmung von A und B sich gestaltet.
Da die Invariante stets mit einem konstanten Faktor multipliziert
werden kann, liegt es nahe, anzusetzen
B = 1A
und zunächst 2 zu bestimmen.
Dies gibt nach (4) und (5) die Forderungen:
U-'11 74) + Aßt i + B = 0,
A U™ (l) + tU^> (A) + A ß2i + B r2i = 0.
Man kann hieraus leicht B und A eliminieren, indem man die
mit — 1 multiplizierte erste Gleichung zur zweiten addiert und dann
durch A dividiert. Dies führt auf
r’w+Vty.-w-'V'1
Dieses System ist einer einzigen totalen RiccATi’schen Gleichung
aequivalent. Ist sie gelöst, dann bleibt zur Bestimmung von A
woraus A durch Quadratur gefunden wird, —
Endlich ist noch C anzugeben. Die Gleichungen (6), in denen
nunmehr A und B als bekannte Funktionen auftreten, können wieder
homogenisiert werden, und geben
Klammerbildung liefert
+ 4 ' T’ (/’«.) - L'"1’ (M) - h UA1} eD - r« PM) X}
oder mit Rücksicht auf (2), (3), (4) und (5)
(W'JÜ) = AB’ (/) - (^ + 5z3s)|f) = (/)•